Главная > Методы обработки сигналов > Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.3. Преобразование Фурье

Переход от ряда Фурье к преобразованию Фурье лучше всего проиллюстрировать с помощью конкретного примера 2.2.1, рассмотренного в предыдущем параграфе. Предположим, что Т стремится к бесконечности. Тогда согласно рис. 2.3 последовательность импульсов вырождается в единственный импульс, который представляет собой апериодическую (т. е. непериодическую) функцию . На основании рис. 2.4а можно сделать вывод, что с увеличением Т спектральные линии сжимаются и в конце концов превращаются в непрерывную функцию вида . Теперь проанализируем поведение комплексного коэффициента Фурье , который определяется как

(2.3.1)

Когда Т стремится к бесконечности, основная угловая частота становится равной дифференциалу угловой частоты а , которая представляет собой гармонику угловой частоты, становится непрерывной угловой частотой . Таким образом, выражение (2.3.1) сводится к следующему:

(2.3.2)

Правая часть выражения (2.3.2) представляет собой преобразование Фурье функции , которое обозначим через , т. е.

(2.3.3)

Рассмотрим предел выражения (2.2.10) при Т, стремящемся к бесконечности. Это выражение можно записать следующим образом:

(2.3.4)

Когда Т стремится к бесконечности, суммирование по всем гармоникам в выражении (2.3.4) можно заменить интегрированием в бесконечных пределах . Вновь воспользуемся теми же аргументами, что и в предельном переходе от выражения (2.3.1) к выражению (2.3.2). В этом случае становится становится

переходит в . Следовательно, после предельного перехода выражение (2.3.4) определяется как

(2.3.5)

и называется обратным преобразованием Фурье функции

Выражения (2.3.3) и (2.3.5) можно объединить следующим образом:

прямое преобразование Фурье

; (2.3.3)

обратное преобразование Фурье

(2.3.5)

Эти два выражения называются парой преобразований Фурье. Достаточным условием для существования преобразования Фурье

апериодической функции является абсолютная интегрируемость функции на интервале т. е. . Из выражения (2.3.3) следует, что является непрерывной функцией , которая может быть выражена следующим образом:

Таблица 2.3.1. Сводка рядов Фурье и пар преобразований Фурье

(2.3.6)

где и — действительная и мнимая части соответственно. Таким образом, амплитудный спектр мощности и фазовый спектры сигнала соответственно определяются как

(2.3.8)

и

(2.3.9)

В таблице 2.3.1 дана сводка рядов Фурье различных форм записи и соответствующие им пары преобразований Фурье.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление