Главная > Методы обработки сигналов > Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.5. Спектр мощности, амплитудный и фазовый спектры

Понятия спектр мощности, амплитудный и фазовый спектры основываются на результатах последнего параграфа, показывающих непосредственную связь коэффициентов ДПФ, полученных с помощью преобразования Фурье и разложения в ряд Фурье.

Спектр мощности. Напомним теорему Парсеваля, которая в выражении (3.2.24) записывалась следующим образом:

(3.5.1)

Если описывает форму напряжения или тока, а нагрузка предполагается чисто активной и равной 1 Ом, то левая часть выражения (3.5.1) представляет собой среднюю мощность, рассеиваемую резистором с сопротивлением в 1 Ом. Каждая величина в (3.5.1) представляет мощность, содержащуюся в гармонике, имеющей частоту с номером k. Поэтому спектр мощности ДПФ определяется как

(3.5.2)

Из выражения (3.5.2) можно сделать следующий вывод: имеется только независимых спектральных точек ДПФ, когда является последовательностью действительных чисел. Это следует из свойства комплексной сопряженности, определяемого выражением (3.2.2). Этими точками являются

(3.5.3)

Из теоремы сдвига (3.2.4) следует, что спектр мощности, определяемый выражением (3.5.2), инвариантен к сдвигам -периодической временной последовательности .

Амплитудный спектр легко определить с помощью спектра мощности следующим образом:

(3.5.4)

Амплитудный спектр также инвариантен к сдвигам временной последовательности .

Фазовый спектр. Для заданной временной последовательности , фазовый спектр определяется из следующего выражения:

(3.5.5)

где и — соответственно действительная и мнимая части . Как и в случае спектра мощности, в выражении имеется только независимых точек фазового спектра ДПФ, если — последовательность действительных чисел. Независимыми спектральными точками являются точки .

Из выражений (3.1.1) и (3.5.5) вытекает фундаментальное свойство фазового спектра, заключающееся в инвариантности к умножению на константу. Кроме того, из выражения (3.5.5) следует, что точки фазового спектра отображают ориентацию в двумерном пространстве, как показано на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Геометрическая интерпретация фазового спектра

В заключение отметим следующие свойства ДПФ спектра последовательности действительных чисел , которые вытекают из свойства комплексной сопряженности.

1. Спектр мощности, определенный выражением (3.5.2), представляет собой четную относительно точки функцию.

2. Фазовый спектр, определенный выражением (3.5.5), представляет собой нечетную относительно точки функцию (см. задачу 3.6).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление