Главная > Методы обработки сигналов > Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.2. Преобразование Уолша—Адамара, упорядоченное по Адамару

Это преобразование также иногда называется BIFORE преобразованием. Определение BIFORE было введено Онсоргом [4].

Преобразование можно записать в матричных или показательных выражениях.

Матричное определение. Пусть — последовательность с периодом N, , состоящая из конечных действительных чисел что записывается как

(6.2.1)

Последовательность записывается в виде -мерного вектора следующим образом:

(6.2.2)

где обозначает транспонированный вектор . Преобразование Уолша-Адамара, упорядоченное по Адамару , последовательности определяется как

(6.2.3)

где обозначает коэффициент , а . Из (6.1.9) и (6.2.3) следует, что обратное преобразование Уолша — Адамара, упорядоченное по Адамару , определяется следующим образом:

(6.2.4)

Так как фурмулы (6.2.3) и (6.2.4) образуют пару преобразований, то представление с помощью однозначно. Приведем простой пример.

Пример 6.2.1. Пусть . Тогда , и из (6.2.3) получаем

(6.2.5)

Подставляя в явном виде , получаем

(6.2.6)

Вычисления по (6.2.6) приводят к коэффициентам .

Чтобы убедиться в однозначности преобразования, описываемого (6.2.6), подставим в (6.2.4). В результате получим

(6.2.7)

Проведя вычисления по (6.2.7), получим исходную последовательность .

Определение в показательной форме. Преобразование Уолша — Адамара можно также записать в виде

(6.2.8)

где

В уравнении (6.2.8) и являются коэффициентами двоичного представления и соответственно, т. е. для каждого десятичного числа можно записать

(6.2.9)

где 0 или 1, . Таким же образом каждое десятичное число выражается в виде

(6.2.10)

где 0 или 1, . Полезно показать на примере , что матричное и показательное определения эквивалентны. Из формулы (6.2.8) следует

. (6.2.11)

Чтобы определить показатели , надо получить матрицу показателей , как показано ниже

Из записи элементов матрицы и формулы (6.2.11) следует

В матричной форме эти уравнения выражаются как

что эквивалентно матричному определению преобразования Уолша— Адамара , при .

Обратное преобразование Уолша — Адамара соответствующее определяется из (6.2.8) как

(6.2.12)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление