Главная > Методы обработки сигналов > Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.7. Дискретное косинусное преобразование (ДКП)

Дискретное косинусное преобразование исходного массива данных , определяется как [16]

(7.7.1)

где есть коэффициент дискретного косинусного преобразования. Следует отметить, что множество базисных векторов

фактически образует класс дискретных многочленов Чебышева. Это легко установить, приведя следующее определение многочленов Чебышева [17]:

(7.7.2)

где есть многочлен Чебышева, Нули N-гo многочлена из формулы [17]

(7.7.3)

Подставляя выражение (7.7.3) в выражение (7.7.2), определим значения , в нулях . Эта процедура приводит к множеству дискретных многочленов Чебышева.

(7.7.4)

которые эквивалентны множеству базисных векторов дискретного косинусного преобразования. Обратное дискретное косинусное преобразование определяется как

(7.7.5)

Использование свойства ортогональности [17]

(7.7.6)

применительно к выражению (7.7.5) приводит к определению дискретного косинусного преобразования (см. задачу 7.3). При записи выражения (7.7.1) в матричной форме, где обозначает матрицу дискретного косинусного преобразования, свойство ортогональности можно записать как

(7.7.7)

Например, матрицу можно записать в виде

Легко проверить, что

. (7.7.8)

Вычисление дискретного косинусного преобразования. Можно

показать, что (см. задачу 7.4) дискретное косинусное преобразование можно также выразить в виде

(7.7.9)

где — действительная часть выражения, стоящего в скобках.

Из выражения (7.7.9) следует, что N коэффициентов дискретного косинусного преобразования можно вычислить с помощью -точечного алгоритма БПФ. Так же можно показать, что -точечный алгоритм ОБПФ позволяет получить все коэффициенты обратного дискретного косинусного преобразования (см. задачу 7.5).

Основное свойство. Дискретное косинусное преобразование обладает тем основным свойством, что его базисные векторы очень хорошо аппроксимируют собственные векторы теплицевых матриц [18, 19]. Этот класс матриц определяется как

(7.7.10)

В качестве иллюстрации на рис. 7.7 изображены собственные векторы для и и соответствующие векторы базиса дискретного косинусного преобразования [строки матрицы в выражении (7.7.8)].

Рис. 7.7. Собственные векторы теплицевой матрицы и базисные векторы ДКП.

Заметно большое сходство (если не учитывать фазовый сдвиг на между собственными векторами теплицевой матрицы и базисными векторами дискретного косинусного преобразования. В главе 9 будет показано, что вследствие этого свойства дискретное косинусное преобразование можно эффективно использовать в области обработки изображений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление