Главная > Теория автоматического управления > Оптимальные и адаптивные системы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Приложение 1. Доказательство теоремы Лагранжа

Повторяя рассуждения, приведенные вначале (§ 2.1), получим аналогичное (2.1.7) равенство

Однако к этому равенству нельзя применить основную лемму вариационного исчисления, так как вариации непроизвольны и вдоль варьируемых кривых должны удовлетворяться уравнения (2.1.23). Последнее означает, что

Вычитая из этих уравнений уравнения (2.1.23), получим, повторяя изложенное в § 1.2, уравнения первого приближения для вариаций [уравнения возмущенного движения, если считать произвольными возмущениями, а экстремали — программным движением]:

Частные производные в этих уравнениях вычисляются вдоль экстремалей .

Умножая каждое из этих уравнений на и интегрируя, получим

Интегрируя первое слагаемое по частям и учитывая, что , получим

Сложим почленно все уравнения системы , тогда

или

Суммируя это уравнение с , получим

Выберем множители так, чтобы они удовлетворяли дифференциальным уравнениям

Другими словами, пусть являются решениями системы . Эти решения зависят от произвольных постоянных.

При таком выборе множителей Лагранжа равенство примет вид

Здесь вариации произвольны, и поэтому, применяя к основную лемму вариационного исчисления, получим уравнения

Таким образом, теорема доказана.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление