Главная > Теория автоматического управления > Оптимальные и адаптивные системы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Вариационные задачи с подвижными границами.

До сих пор при исследовании функционала (2.1.1) предполагалось, что граничные точки заданы. Теперь будем полагать, что одна или обе граничные точки могут перемещаться. Класс допустимых кривых в этом случае расширяется, так как кроме кривых сравнения, имеющих общие граничные точки с исследуемой кривой, можно брать кривые со смещенными граничными точками. Это означает, что если на какой-нибудь кривой функционал (2.1.1) достигает экстремума в задаче с подвижными точками, то экстремум тем более достигается по отношению к более узкому классу кривых, имеющих общие граничные точки с кривой и, следовательно, должна быть решением уравнения Эйлера (2.1.10).

Общее решение уравнения Эйлера содержит две произвольные постоянные, которые находятся при закрепленных границах из граничных условий, а при подвижных границах — из условий трансверсальности.

Эти условия имеют вид

(2.1.19)

Если правая граничная точка должна перемещаться по некоторой кривой , то условия (2.1.20) принимают вид

Аналогичный вид принимают условия (2.1.19), если левая граничная точка перемещается по кривой . Соотношения (2.1.19), (2.1.20) представляют собой четыре уравнения для определения четырех неизвестных: и произвольных постоянных , входящих в общее решение уравнения Эйлера. Часто числа заданы, т. е. точки могут перемещаться только вертикально, и тогда условия (2.1.19), (2.1.20) принимают вид

Вывод соотношений приведен в [2.2].

Пример 2.1.3. Найдем экстремаль функционала (2 1 12) при заданных и произвольных . Используя (2 1.21), получим

Подставляя в эти равенства решения (2.1.14), имеем

Откуда следует, что и таким образом, экстремалью функционала (2.1.12) с подвижными границами является

Если предположить теперь, что наряду с нефиксированы и числа то, используя (2.1.19), (2.1 20), получим

Из этих равенств следует, что независимо от и поэтому из (2.1.15) получим вновь . Таким образом, и в этом случае экстремалью является

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление