Главная > Теория автоматического управления > Оптимальные и адаптивные системы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задачи Майера и Больца.

В более общем случае функционал (2.1.24) и граничные условия (2.1.25), (2.1.26) имеют вид

где заданная функция; — известные числа. Если в , то задача о нахождении экстремалей этого функционала, удовлетворяющих уравнениям связи (2.1.23) и граничным условиям (2.1.39), называется задачей Больца. Если в , то она называется задачей Майера. При это задача Лагранжа.

Покажем, что задачи Больца и Лагранжа сводятся к задаче Майера. Действительно, если дополнить уравнения (2.1.23) уравнением , а граничные условия ( - равенством , то функционал (2.1.38) примет вид . Верно и обратное. Действительно, рассмотрим вместо функционала

в задаче Майера функционал

Поскольку - известная величина, то экстремали функционалов (2.1.40) и (2.1.41) совпадают.

С другой стороны, нетрудно видеть, что

а задача об экстремуме этого функционала на связях (2.1.23) — это уже задача Лагранжа.

Покажем также, что задача Больца эквивалентна задаче Лагранжа. В связи с этим запишем функционал (2.1.39) как

дополним уравнения (2.1.23) уравнением , а краевые условия - равенством . Тогда из уравнения связи следует , задачи Больца и Лагранжа эквивалентны. Выбор той или иной формы вариационной задачи определяется соображениями удобства ее формулировки.

В заключение этого параграфа отметим, что в связи с задачами оптимального управления в последние десятилетия уравнения Эйлера, Эйлера — Лагранжа были получены для дискретных систем [2.4] и систем с распределенными параметрами [2.5].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление