Главная > Теория автоматического управления > Оптимальные и адаптивные системы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Аналитическое конструирование регуляторов нестационарных систем.

Рассмотрим полностью управляемый нестационарный объект, описываемый уравнением

в котором известные на интервале матрицы функций.

Пусть критерий качества имеет вид

где — заданные положительно-определенные матрицы функций и чисел соответственно.

Требуется найти матрицу регулятора

при которой на движениях системы (4.1.25), (4.1.27), возбужденных произвольными начальными отклонениями, минимизируется функционал (4.1.26).

Переходя к решению этой задачи, рассмотрим вначале случай . Тогда уравнения системы и функционал оптимизации примут вид:

(4.1.25)

Функцию , разрешающую задачу AKOP для нестационарного объекта (4.1.25), будем искать в виде . Подставляя ее в (4.1.6), получим вместо алгебраического уравнения (4.1.8) дифференциальное уравнение

и краевое условие

Уравнение (4.1.28) является специальным видом дифференциального уравнения, решение которого изучалось еще в XVIII в. итальянским математиком Я. Риккати, именем которого оно и названо.

В общем случае уравнение (4.1.28) и краевое условие (4.1.29) имеют вид:

Уравнение (4.1.28) называется матричным дифференциальным уравнением Риккати. Его нетрудно получить, повторяя изложенное в приложении 4.

Переходя к решению уравнения (4.1.28), введем «новое время» и обозначим . Тогда (4.1.28) и (4.1.29) примут вид

Таким образом, краевая задача для уравнения (4.1.28) свелась путем введения нового (обратного) времени к задаче решения уравнения с известным начальным условием . Для его численного решения можно использовать любой из известных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (метод Рунге — Кутта, Эйлера и т. п.).

Решив уравнение , найдем искомую матрицу

Иногда функционал (4.1.26) имеет более общий вид

где - определенная матрица размеров . Вводя новое управление

запишем уравнение (4.1.25) и функционал в виде (4.1.25), (4.1.26):

где .

Таким образом, оптимальное в смысле функционала управление объектом (4.1.25) записывается как , где или , в котором

где — решение уравнения Риккати:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление