Главная > Теория автоматического управления > Оптимальные и адаптивные системы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4.3. Применение процедур аналитического конструирования регуляторов

Условие оптимальности в частотной форме.

Процедуры аналитического конструирования регуляторов и построения наблюдателей образуют эффективный метод синтеза регуляторов систем, качество которых оценивается с помощью интегрального показателя. Однако часто оказывается, что технические требования к системе трудно непосредственно выразить с помощью такого показателя, поэтому возникает задача выбора коэффициентов функционала оптимизации по заданным требованиям к точности и качеству системы. Для ее решения нужно установить связь между структурой и параметрами функционала оптимизации, с одной стороны, и показателями качества (временем регулирования, перерегулированием, запасами устойчивости по фазе и модулю) и точностью (установившимися ошибками при внешних возмущениях) - с другой ().

Установление такой связи опирается на условие оптимальности в частотной форме.

Переходя к этому условию, рассмотрим систему

оптимальную в смысле функционала

в котором Q — положительно-определенная матрица. Оптимальность системы (4.3.1), (4.3.2) означает, что матрица

где определенно-положительная матрица является решением алгебраического уравнения Риккати:

в котором А и В — заданные матрицы, удовлетворяющие условию управляемости.

Преобразуя (4.3.1), (4.3.2) по Лапласу при нулевых начальных условиях, запишем передаточную матрицу этой системы в разомкнутом состоянии

где s — комплексное число.

Прибавим и вычтем из левой части (4.3.5) произведение и умножим полученное равенство слева на , а справа на , тогда

Вводя обозначение , где и учитывая (4.3.4), запишем (4.3.7) в виде

Прибавляя к обеим частям единичную матрицу и учитывая выражение (4.3.6) для передаточной матрицы разомкнутой системы, получим окончательно

Полагая , получим условие оптимальности в частотной форме

Это условие выполняется для всех вещественных со и связывает частотную передаточную матрицу оптимальной системы с параметрами функционала оптимизации.

В дальнейшем изложении большую роль будет играть случай скалярного управления . В этом случае уравнения (4.3.1), (4.3.2) имеют вид

(4.3.10)

где — скаляр; b и с — -мерные векторы-столбцы.

Передаточная функция этой системы

Условие оптимальности (4.3.9) принимает при скалярном управлении вид

(4.3.13)

где - рациональные функции, являющиеся компонентами вектора .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление