Главная > Теория автоматического управления > Оптимальные и адаптивные системы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Градиентные алгоритмы поиска экстремума многопараметрических объектов.

Рассмотрим многопараметрический объект (7.1.3). Ограничиваясь для простоты изложения случаем двух управляющих и двух неопределенных параметров, запишем это уравнение как

(7.2.31)

Поиск экстремума объекта (7.2.31) значительно сложнее, чем поиск экстремума однопараметрического объекта. Дело в том, что если в случае однопараметрического объекта требовалось найти значение рабочего шага поиска, то для двухпараметрического объекта необходимо найти не только значения рабочего шага, но и его направление в плоскости управляющих параметров (для однопараметрических объектов это направление совпадало с осью абсцисс).

Если пользоваться образными сравнениями, то существо подхода к поиску экстремума объекта (7.2.31) можно описать так. Представим себе путника, который в темноте спускается в долину, на дне которой имеется вода, и путник торопится к ней. Естественное поведение путника следующее: он ощупывает поверхность вокруг себя (делает пробные шаги) и находит направление наиболее крутого спуска, затем двигается в этом направлении (делает рабочий шаг) некоторое время, потом останавливается, ощупывает поверхность вокруг себя, вновь находит направление наиболее крутого спуска, двигается в этом направлении некоторое время и так до тех пор, пока он не достигнет дна долины. Очевидно, что описанное направление спуска путника, который торопится, является (с точностью до знака) направлением градиента функции ). Напомним, что градиентом функции называется вектор, направленный в сторону наибольшего ее увеличения. Проекции вектора градиента на оси равны частным производным по управляющим параметрам.

Пример 7.2.4. Пусть экстремальный объект имеет характеристику

(7.2.32)

Найдем направление, в котором эта характеристика уменьшается наибольшим образом, при начальном положении

(7.2.33)

Переходя к определению такого направления, вычислим

Нетрудно видеть, что

(7.2.34)

На рис. 7.2.2 стрелкой указано искомое направление.

Движение в направлении градиента можно описать уравнениями

(7.2.35)

где — оценки частных производных характеристики объекта.

Эти оценки определяются выражениями

(7.2.37)

где — постоянные (не зависящие от номера рабочего шага) пробные шаги по первому и второму управляющему параметру соответственно; измеренное значение выхода экстремального объекта в момент времени при пробном шаге по первому управляющему параметру.

Уравнения описывают траекторию поиска по методу градиента. Эту траекторию удобно изучать с помощью непрерывного аналога уравнений (7.2.35), (7.2.36). В связи с этим разделим эти уравнения на , тогда при достаточно малых значениях и получим дифференциальные уравнения

(7.2.39)

Можно показать, что при достаточно малых значениях положительного числа траектории поиска, описываемые уравнениями (7.2.35), (7.2.36) и (7.2.39), практически совпадают.

Рис. 7.2.2.

Переходя к анализу сходимости процесса поиска, разложим характеристику объекта в ряд Тейлора в окрестности точки экстремума-минимума:

где символ означает, что производные вычисляются в точке экстремума; — отклонение от точки экстремума .

Так как , то на основе (7.2.40) заключаем, что в окрестности точки экстремума функция

Положим для простоты, что . Тогда, принимая выражение (7.2.41) в качестве функции Ляпунова в задаче об исследовании устойчивости нулевого решения уравнения (7.2.39), вычислим

Последнее неравенство свидетельствует об асимптотической устойчивости нулевого решения уравнения (7.2.39) и, следовательно, сходимости процесса градиентного поиска при малых отклонениях от точки экстремума.

Отметим в заключение, что в общем случае многопараметрического объекта алгоритмы (7.2.35), (7.2.36) поиска экстремума имеют вид

(7.2.43)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление