Главная > Теория автоматического управления > Оптимальные и адаптивные системы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Идентификация при полностью измеряемом векторе переменных состояний.

Рассмотрим объект (8.1.1), (8.1.2), у которого все переменные состояния доступны непосредственному измерению, а - -мерный вектор. Требуется определить неизвестные матрицы чисел А и В размеров соответственно. Для решения этой задачи введем в рассмотрение настраиваемую модель

(8.1.37)

где -мерный вектор переменных состояния модели; К — известная матрица, собственные числа которой имеют отрицательные вещественные части (т. е. К — гурвицева матрица); — матрицы настраиваемых параметров.

Вычитая из (8.1.37) уравнение (8.1.1), получим уравнение для ошибки :

(8.1.38)

где матрицы ошибок определяются как

(8.1.39)

Требуется найти уравнение адаптации параметров модели, при которых

(8.1.40)

(8.1.41)

Утверждение 8.1.1. Уравнения адаптации (законы настройки) параметров модели имеют вид

(8.1.42)

где — произвольные положительно-определенные матрицы чисел размеров ; — положительно-определенная матрица чисел, удовлетворяющая матричному уравнению Ляпунова:

(8.1.42)

где Q — произвольная положительно-определенная матрица.

Законы адаптации (8.1.42) обеспечивают выполнение (8.1.40), а если сигнал «достаточно богат», то

Доказательство утверждения опирается на использование функции Ляпунова

(8.1.43)

полная производная которой в силу уравнений (8.1.38), (8.1.42) имеет вид

(8.1.44)

Из (8.1.43), (8.1.44) в соответствии со вторым (прямым) методом Ляпунова следует, что .

Убедимся в справедливости (8.1.44) при . В этом случае

если является решением уравнения удовлетворяют уравнениям

которые при совпадают с (8.1.42), если учесть, что .

Опуская доказательство пределов (8.1.41) ввиду его сложности, отметим, что оно опирается на предположение о «достаточном богатстве» u(t). Это условие необходимо.

Действительно, пусть — «бедный» сигнал: . Тогда в силу асимптотической устойчивости модели ошибка обладает свойством (8.1.40), а так как , то из (8.1.42) получим уравнения , из которых не следует (8.1.41).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление