Главная > Теория автоматического управления > Оптимальные и адаптивные системы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9.2. Метод наименьших квадратов

Некоторые понятия теории временных рядов. Запишем уравнения объекта (9.1.1), (9.1.2), полагая для простоты , в форме «вход — выход»:

(9.2.1)

Уравнение (9.2.1) может быть аппроксимировано с помощью конечных разностей, когда

Используя оператор сдвига (задержки) , можно записать

В результате аппроксимации уравнение (9.2.1) принимает вид разностного уравнения:

(9.2.4)

Легко получить соотношение между параметрами . Опуская далее параметр Т (полагая для простоты получим на основе (9.2.4)

(9.2.5)

Существует еще одна форма аппроксимации асимптотически устойчивых процессов, описываемых уравнением (9.2.1). Она следует из интеграла свертки (9.1.8), если положить при . В этом случае (9.1.8) примет вид

(9.2.6)

где — значение импульсной переходной функции в момент времени .

Очевидно, что связь между формулами (9.2.5), (9.2.6) определяется соотношением

(9.2.7)

Процедура определения правой части этого равенства по левой части называется операцией длинного деления.

Для асимптотически устойчивых процессов при , поэтому можно ограничиться конечным числом слагаемых в (9.2.6).

Тогда

(9.2.8)

Это выражение является временным рядом, позволяющим найти у в момент времени k по значениям f в q моментов времени, предшествующих моменту .

Модель (9.2.8) называется моделью со скользящим средним (СС-модель). Термин «скользящее среднее» появился в связи с тем, что выражение (9.2.8) по существу является оператором усреднения значения f (правда, при этом не выполняется ни условие , ни условие для всех .

Пусть в тогда

(9.2.9)

Это также временной ряд, определяющий значение у в момент времени k на основе значений в моменты, предшествовавшие и значению .

Выражение (9.2.9) называется авторегрессионной моделью (АР-модель). Этот термин вызван тем, что (9.2.9) регрессирует на прошлые значения . И наконец, модель (9.2.4), которую можно записать как

(9.2.10)

называется авторегрессионной моделью со скользящим средним (АРСС-модель).

Пусть параметры моделей (9.2.9), (9.2.10) неизвестны, тогда используя для обозначения неизвестных параметров вектор запишем эти модели в виде

(9.2.11)

Требуется по известным (в результате измерений) значениям найти вектор параметров . После определения этого вектора нетрудно вычислить искомые параметры исходного уравнения (9.2.1).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление