Главная > Теория автоматического управления > Оптимальные и адаптивные системы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Метод наименьших квадратов [9.1].

Пусть в модели точно измеряются и требуется определить параметры уравнения (9.2.11), которое принимает вид

(9.2.13)

Записывая это уравнение для , получим систему алгебраических уравнений

решая которую найдем искомые числа .

Допустим теперь, что измеряется с погрешностями. Тогда для каждой пары уравнений вида (9.2.14), записанной для различных k (следующая пара порождается , затем и т. д.), получим различные значения искомых параметров . Возникает мысль определить так, чтобы разность (невязка) между правой и левой частями уравнения (9.2.13) при была наименьшей. Для этого сформируем сумму квадратов невязок

(9.2.15)

Необходимое и достаточное условие минимума составляет систему из двух алгебраических уравнений

(9.2.16)

решая которую найдем искомые числа .

Рассмотрим теперь определение параметров модели (9.2.11), когда - неизмеряемая неизвестная функция.

Запишем авторегрессионную модель (9.2.11) в векторной форме

(9.2.18)

где

(9.2.19)

В (9.2.18) в отличие от (9.2.11) принято начальное значение . Это связано с тем, что при вектор содержит только результаты измерений, тогда как в противном случае он содержал бы неизвестные начальные условия и т. д.

Поскольку функция неизвестна, то будем искать такую оценку вектора , чтобы сумма квадратов «невязок»

(9.2.20)

была минимальной. Дифференцируя (9.2.20) по компонентам вектора а и приравнивая нулю производные, получим

(9.2.21)

Вводя обозначение

найдем из (9.2.21) искомый вектор

(9.2.23)

Выведем еще одну эквивалентную (9.2.23) формулу для оценки вектора а на основе метода наименьших квадратов. В связи с этим введем в рассмотрение -мерные векторы также матрицу :

(9.2.24)

При этих обозначениях уравнения (9.2.18) для и минимизируемая функция примут вид

(9.2.25)

Дифференцируя (9.2.26) по компонентам вектора а и приравнивая производную нулю, получим , отсюда

(9.2.27)

Пример 9.2.1. Пусть имеется асимптотически устойчивый объект управления, описываемый уравнением

(9.2.28)

в котором параметр и воздействие неизвестны. Пусть в результате измерений выхода объекта в известные моменты времени получены

(9.2.29)

Требуется определить параметр .

Переходя к решению этой задачи, аппроксимируем (9.2.28) разностным уравнением вида

и представим это уравнение как авторегрессионную модель (9.2.11):

(9.2.31)

Вычислим по формуле (9.2.22) значение . В рассматриваемом случае в соответствии с и, таким образом,

На основе (9.2.23) заключаем, что

(9.2.33)

и, следовательно, оценка искомого значения

(9.2.34)

Если использовать для определения параметра формулу (9.2.27), то следует ввести вектор и матрицу :

тогда получим вновь

(9.2.35)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление