Главная > Теория автоматического управления > Оптимальные и адаптивные системы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9.3. Стохастическая аппроксимация. Идентификация параметров и переменных состояния

Алгоритм стохастической аппроксимации.

Рассмотрим асимптотически устойчивый объект управления, описываемый уравнениями

(9.3.1)

где - -мерный вектор состояния; - управляющий сигнал; - внешнее возмущение и помеха, являющиеся последовательностями случайных чисел с нулевым средним и ограниченными дисперсиями;

(9.3.3)

Требуется по результатам измерений переменной определить компоненты векторов , являющихся неизвестными параметрами объекта (9.3.1) (9.3.2).

Представим уравнения (9.3.1) (9.3.2) в форме (9.2.8), которая является моделью со скользящим средним (СС-модель). Для этого найдем изображение измеряемой переменной при нулевых начальных условиях

где z — комплексное число дискретного преобразования Лапласа (в частности, ). Используя разложение

(9.3.5)

в справедливости которого нетрудно убедиться, умножая (9.3.5) на , получим на основе (9.3.4), после перехода к оригиналу, что

(9.3.6)

В силу асимптотической устойчивости объекта ограничимся первыми членами ряда (9.3.6), тогда

(9.3.7)

Таким образом, числа в модели (9.2.8) определяются выражениями

(9.3.8)

Вводя обозначения

(9.3.9)

запишем (9.3.7) в виде

(9.3.11)

Будем искать оценку вектора из условия минимизации критерия

(9.3.12)

В соответствии с алгоритмом стохастической аппроксимации определяем искомую оценку из условия минимума (в каждый момент времени) невязки по методу градиента:

(9.3.13)

где параметр удовлетворяет условиям § 7.3,

В [9.9] доказано, что оценки сходятся с вероятностью к истинному значению в среднеквадратическом смысле:

(9.3.15)

Если вектор найден, то искомые векторы находятся из отношений

(9.3.16)

Переходя к доказательству этих соотношений, отметим, что в силу (9.3.10)

(9.3.17)

Теперь убедимся в справедливости (9.3.16) при . В этом случае

(9.3.18)

Нетрудно видеть, что

(9.3.19)

и, таким образом, из (9.3.19) следует первое из отношений (9.3.16). Второе из равенств (9.3.16) имеет в рассматриваемом случае вид

(9.3.20)

Нетрудно проверить, что

и поэтому (9.3.20) можно записать в виде

(9.3.21)

Используя теорему Гамильтона — Кэли, в соответствии с которой , убеждаемся в справедливости (9.3.21) и, следовательно, (9.3.16) выполняется.

Таким образом, имеет место утверждение.

Утверждение 9.3.1. Алгоритм идентификации параметров (векторов и ) объекта (9.3.1), (9.3.2) состоит из операций: а) в соответствии с рекуррентным соотношением (9.3.13), в котором параметр удовлетворяет условиям (9.3.14), определить при достаточно больших k вектор по формулам (9.3.16) найти искомые векторы и .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление