Главная > Теория автоматического управления > Оптимальные и адаптивные системы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Построение алгоритма регулирования на основе модального управления.

Возвращаясь к первому этапу синтеза, допустим, что параметры объекта (10.1.1) известны. Пусть в (10.1.3) число . Цель управления

(10.1.4)

достигается при любом регуляторе, обеспечивающем асимптотическую устойчивость системы. Потребуем дополнительно к асимптотической устойчивости, чтобы корни характеристического полинома замкнутой системы имели наперед заданные значения. Таким образом, речь идет о построении модального управления для объекта (10.1.1). Уравнение регулятора имеет вид

(10.1.5)

где - искомые числа.

Преобразуя (10.1.1), (10.1.5) по Лапласу при нулевых начальных условиях, запишем уравнения объекта и регулятора в виде

(10.1.6)

где z — комплексное число;

Для удобства далее будем использовать обозначения и положим в , предполагая коэффициенты при отсутствующих степенях z равными нулю. Аналогично, положим в и будем искать параметры регулятора (10.1.5) при условии, что . При этих предположениях характеристический полином системы (10.1.6), (10.1.7) имеет вид

Желаемый полином замкнутой системы

(10.1.11)

где - заданные числа, .

Для реализуемости алгоритма регулирования (10.1.5) потребуем, чтобы

(10.1.12)

Кроме того, пусть

(10.1.13)

Для определения остальных параметров регулятора (10.1.5) приравняем полиномы (10.1.10), (10.1.11). Тогда

(10.1.14)

Приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных . Эта система имеет вид

(10.1.15)

где

- матрица чисел размеров , элементами которой являются известные параметры объекта (10.1.1), представленные как компоненты вектора . В [6.5] показано, что если объект (10.1.1) полностью управляем [это означает, что полиномы и не имеют общих корней] и , то система (10.1.15) имеет единственное решение относительно искомых параметров .

Утверждение 10.1.1. Процедура определения параметров регулятора (10.1.5), при котором характеристический полином замкнутой системы (10.1.1), (10.1.5) имеет заданные значения , заключается в следующем: 1) сформировать коэффициенты желаемого полинома (10.1.11) замкнутой системы;

2) на основе уравнения (10.1.14) построить матрицу чисел уравнения (10.1.15); 3) решить уравнение (10.1.15) и найти параметры регулятора (10.1.5).

Пример 10.1.1. Модальное управление гирорамой.

Рассмотрим гирораму, дискретная модель которой описывается уравнениями (5.3.31), (5.3.32).

(10.1.17)

Требуется найти параметры регулятора

такие, чтобы корни характеристического полинома замкнутой системы имели заданные значения . Переходя к решению этой задачи, приведем уравнения гирорамы к виду (10.1.1). Для этого запишем соотношения

Разрешая эту систему из трех уравнений относительно трехмерного вектора и подставляя полученное выражение для в уравнение получим уравнение гирорамы в форме "вход — выход"

(10.1.21)

Опускаем пока внешние возмущения и помехи и запишем это уравнение виде

(10.1.22)

В соответствии с процедурой модального управления объектом сформируем желаемый полином замкнутой системы

Характеристический полином системы (10.1.20), (10.1.22) имеет вид

(10.1.24)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях полиномов (10.1.23), (10.1.24), получим систему алгебраических уравнений (10.1 15):

Решая эту систему из шести линейных уравнений, получим искомые значения параметров , регулятора (10.1.20).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление