Для доступа к данной книге необходима авторизация

Логин: пароль Запрос доступа

Численные методы

  

Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. Численные методы.

Данная книга представляет собой переработанный вариант учебного пособия «Численные методы» тех же авторов, вышедшего в 1987 году. Добавлен материал, относящийся к решению систем линейных уравнений с плохо обусловленными матрицами, решению задачи Коши для систем жестких обыкновенных дифференциальных уравнений, аппроксимации функций, методу сопряженных градиентов. Видоизменено изложение оптимального линейного итерационного процесса и рассмотрен многосеточный итерационный метод — один из наиболее применяемых в настоящее время методов решения сеточных краевых задач.



Оглавление

Предисловие
Введение
Глава 1. Погрешность результата численного решения задачи
§ 1. Источники и классификация погрешности
§ 2. Запись чисел в ЭВМ
§ 3. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных
§ 4. О вычислительной погрешности
§ 5. Погрешность функции
§ 6. Обратная задача
Глава 2. Интерполяция и численное дифференцирование
§ 1. Постановка задачи приближения функций
§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
§ 3. Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа
§ 4. Разделенные разности и их свойства
§ 5. Интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями
§ 6. Разделенные разности и интерполирование с кратными узлами
§ 7. Уравнения в конечных разностях
§ 8. Многочлены Чебышева
§ 9. Минимизация оценки остаточного члена интерполяционной формулы
§ 10. Конечные разности
§ 11. Интерполяционные формулы для таблиц с постоянным шагом
§ 12. Составление таблиц
§ 13. О погрешности округления при интерполяции
§ 14. Применения аппарата интерполирования. Обратная интерполяция
§ 15. Численное дифференцирование
§ 16. О вычислительной погрешности формул численного дифференцирования
§ 17. Рациональная интерполяция
Глава 3. Численное интегрирование
§ 1. Простейшие квадратурные формулы. Метод неопределенных коэффициентов
§ 2. Оценки погрешности квадратуры
§ 3. Квадратурные формулы Ньютона—Котеса
§ 4. Ортогональные многочлены
§ 5. Квадратурные формулы Гаусса
§ 6. Практическая оценка погрешности элементарных квадратурных формул
§ 7. Интегрирование быстро осциллирующих функций
§ 8. Повышение точности интегрирования за счет разбиения отрезка на равные части
§ 9. О постановках задач оптимизации
§ 10. Постановка задачи оптимизации квадратур
§11. Оптимизация распределения узлов квадратурной формулы
§ 12. Примеры оптимизации распределения узлов
§ 13. Главный член погрешности
§ 14. Правило Рунге практической оценки погрешности
§ 15. Уточнение результата интерполяцией более высокого порядка точности
§ 16. Вычисление интегралов в нерегулярном случае
§ 17. Принципы построения стандартных программ с автоматическим выбором шага
Глава 4. Приближение функций и смежные вопросы
§ 1. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве
§ 2. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве и вопросы, возникающие при его практическом построении
§ 3. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье
§ 4. Быстрое преобразование Фурье
§ 5. Наилучшее равномерное приближение
§ 6. Примеры наилучшего равномерного приближения
§ 7. О форме записи многочлена
§ 8. Интерполяция и приближение сплайнами
Глава 5. Многомерные задачи
§ 1. Метод неопределенных коэффициентов
§ 2. Метод наименьших квадратов и регуляризация
§ 3. Примеры регуляризации
§ 4. Сведение многомерных задач к одномерным
§ 5. Интерполяция функций в треугольнике
§ 6. Оценка погрешности численного интегрирования на равномерной сетке
§ 7. Оценка снизу погрешности численного интегрирования
§ 8. Метод Монте-Карло
§ 9. Обсуждение правомерности использования недетерминированных методов решения задач
§ 10. Ускорение сходимости метода Монте-Карло
§ 11. О выборе метода решения задачи
Глава 6. Численные методы алгебры
§ 1. Методы последовательного исключения неизвестных
§ 2. Метод отражений
§ 3. Метод простой итерации
§ 4. Особенности реализации метода простой итерации на ЭВМ
§ 5. Процесс практической оценки погрешности и ускорения сходимости
§ 6. Оптимизация скорости сходимости итерационных процессов
§ 7. Метод Зейделя
§ 8. Метод наискорейшего градиентного спуска
§ 9. Метод сопряженных градиентов
§ 10. Итерационные методы с использованием спектрально-эквивалентных операторов
§ 11. Погрешность приближенного решения системы уравнений и обусловленность матриц. Регуляризация
§ 12. Проблема собственных значений
§ 13. Решение полной проблемы собственных значений при помощи QR-алгоритма
Литература
Глава 7. Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации
§ 1. Метод простой итерации и смежные вопросы
§ 2. Метод Ньютона решения нелинейных уравнений
§ 3. Методы спуска
§ 4. Другие методы сведения многомерных задач к задачам меньшей размерности
§ 5. Решение стационарных задач путем установления
§ 6. Как оптимизировать?
Глава 8. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
§ 1. Решение задачи Коши с помощью формулы Тейлора
§ 2. Методы Рунге—Кутта
§ 3. Методы с контролем погрешности на шаге
§ 4. Оценки погрешности одношаговых методов
§ 5. Конечно-разностные методы
§ 6. Метод неопределенных коэффициентов
§ 7. Исследование свойств конечно-разностных методов на модельных задачах
§ 8. Оценка погрешности конечно-разностных методов
§ 9. Особенности интегрирования систем уравнений
§ 10. Методы численного интегрирования уравнений второго порядка
§ 11. Оптимизация распределения узлов интегрирования
Глава 9. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
§ 1. Простейшие методы решения краевой задачи для уравнений второго порядка
§ 2. Функция Грина сеточной краевой задачи
§ 3. Решение простейшей краевой сеточной задачи
§ 4. Замыкания вычислительных алгоритмов
§ 5. Обсуждение постановок краевых задач для линейных систем первого порядка
§ 6. Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений первого порядка
§ 7. Нелинейные краевые задачи
§ 8. Аппроксимации специального типа
§ 9. Конечно-разностные методы отыскания собственных значений
§ 10. Построение численных методов с помощью вариационных принципов
§ 11. Улучшение сходимости вариационных методов в нерегулярном случае
§ 12. Влияние вычислительной погрешности в зависимости от формы записи конечно-разностного уравнения
Глава 10. Методы решения уравнений в частных производных
§ 1. Основные понятия теории метода сеток
§ 2. Аппроксимация простейших гиперболических задач
§ 3. Принцип замороженных коэффициентов
§ 4. Численное решение нелинейных задач с разрывными решениями
§ 5. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения
§ 6. Разностная аппроксимация эллиптических уравнений
§ 7. Решение параболических уравнений с несколькими пространственными переменными
§ 8. Методы решения сеточных эллиптических уравнений
Литература
Глава 11. Численные методы решения интегральных уравнений
§ 1. Решение интегральных уравнений методом замены интеграла квадратурной суммой
§ 2. Решение интегральных уравнений с помощью замены ядра на вырожденное
§ 3. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода
Заключение
Список литературы