Главная > Методы обработки сигналов > Численные методы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 12. Составление таблиц

Рассмотрим следующую задачу. Требуется построить таблицу значений некоторой функции так, чтобы погрешность при интерполяции значений функции многочленом заданной степени не превосходила . В этом случае говорят, что таблица допускает интерполяцию степени (с погрешностью ). Таблицы, выпускаемые для широкого круга пользователей, обычно составляются так, чтобы они допускали интерполяцию первой степени, иначе — линейную интерполяцию. Примером таких таблиц могут служить таблицы В.М. Брадиса, известные из школьного курса. В дальнейшем рассматриваем случай таблицы с постоянным шагом.

Для вычисления значения при помощи такой таблицы берутся узлы и справа и слева от точки (они будут ближайшими к ); затем заменяется интерполяционным многочленом первой степени по этим узлам (для удобства обозначаем ):

Погрешность этой формулы

где

Эта величина не превосходит , если

достигается при и равен . Таким образом, достаточно выполнения условия

Пусть мы хотим составить или ввести в машину таблицу на так, чтобы погрешность линейной интерполяции не превосходила . Поскольку , то из (1) вытекает требование на шаг таблицы

Часто требование допустимости линейной интерполяции является слишком жестким и вместо него требуют допустимой квадратичной интерполяции (т.е. интерполяции многочленом второй степени). Простейшим случаем квадратичной интерполяции будет интерполяция многочленом Лагранжа по трем узлам. Пусть — узел, ближайший к , т. е. . Имеем

Остаточный член этой формулы

Чтобы таблица допускала квадратичную интерполяцию (2), достаточно выполнения условия

Так как , то это требование на шаг перепишется в виде

В конкретном случае при получаем .

Рассмотрим другой способ замены функции многочленом второй степени. Пусть ; положим

т.е. заменим многочленом Бесселя второй степени (11.6), выписанным по узлам . Согласно (11.7) остаточный член (4) есть

Так как , то для допустимости интерполяции по формуле (4) достаточно выполнения соотношения

Поскольку

то интерполяция по формуле (4) допустима, если

При малых h главной частью является первое слагаемое; оно меньше, чем левая часть (3), в раз. Следовательно, при малых h для выполнимости (5) можно взять шаг в раз больше, чем для выполнимости (3). В рассматриваемом примере условие (5) имеет вид

Решая это неравенство, получим . Заметим, что при ручном счете шаг неудобен вследствие «некруглости» этого числа. Поэтому при составлении таблиц его заменили бы заведомо на меньшее, но «более круглое» число 0,03.

В многомерном случае иногда целесообразно дальнейшее увеличение степени используемого интерполяционного многочлена.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление