Главная > Методы обработки сигналов > Численные методы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. Постановка задачи оптимизации квадратур

Рассуждения § 9 показывают важность изучения различных постановок проблемы оптимизации методов на классах функций. Рассмотрим задачу вычисления интеграла

Область интегрирования Q и весовая функция предполагаются фиксированными. Класс рассматриваемых задач определим заданием класса F подынтегральных функций. Погрешностью квадратуры,

на классе F называют величину

где, как обычно,

Нижняя грань

называется оптимальной оценкой погрешности квадратур на рассматриваемом классе. Если существует квадратура, для которой , то такую квадратуру называют оптимальной или наилучшей на рассматриваемом классе.

В § 2 была получена оценка (2.4) погрешности квадратуры, точной для многочленов степени , через производную функции. Эта оценка является неулучшаемой (см. задачу 2.3). Таким образом, для классов функций

величина известна и задача построения оптимальной квадратуры сводится к нахождению коэффициентов и узлов, на которых достигается нижняя грань . Для ряда классов функций эту задачу удалось решить. Например, при такой квадратурой является составная формула прямоугольников

с оценкой погрешности

(Доказать!)

В настоящее время оптимальные квадратуры получены для небольшого набора классов функций, в основном одной переменной. Непосредственное значение этих квадратур для приложений невелико, однако это не значит, что не нужно заниматься построением таких квадратур.

Построение оптимальных квадратур и дальнейшее их развитие на случай большей гладкости и большего числа переменных оказались ценными не получением конкретных квадратурных формул, а выяснением качественной стороны вопроса: где какие методы лучше, на какую точность можно рассчитывать при использовании определенной информации о подынтегральной функции, какова плотность распределения узлов у «хорошей» квадратуры.

Пусть, например, при первоначальном анализе задачи мы решили воспользоваться информацией об ограниченности тгерной производной оценка погрешности (1) нас не устраивает, поскольку для достижения нужной точности требуется слишком большое число узлов: если , то . Оптимальность оценки (1) указывает на необходимость сужения класса рассматриваемых задач путем учета дополнительной информации о подынтегральной функции (ограниченность второй производной, тип особой точки подынтегральной функции, аналитичность и т.п.) или расширения множества используемых методов интегрирования.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление