Главная > Методы обработки сигналов > Численные методы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 16. Вычисление интегралов в нерегулярном случае

Существенную часть реально встречающихся подынтегральных функций составляют функции с особенностями, причем особенность может содержаться либо в функции, либо в ее производной, или функции, производные которых очень велики.

Если такая нерегулярность подынтегральной функции не вызвана колебательным характером ее поведения, то неплохой результат дают стандартные программы с автоматическим выбором шага, которые будут обсуждаться в § 17. В случае расчета малой серии интегралов с особенностями обращение к этим стандартным программам может оказаться наиболее целесообразным способом решения задачи. Для вычисления же большой серии интегралов с особенностями необходимо привлечь исследователей более высокой квалификации. Укажем ряд приемов, которые могут оказаться полезными при рассмотрении этих вопросов.

1. Выделение весовой функции. Пусть вычисляется интеграл , где пределы интегрирования и могут быть бесконечными. Представим подынтегральную функцию в виде , где - достаточно простая, а - гладкая функции. Далее применяем какой-либо из рассмотренных ранее способов вычисления интегралов с весом. Рассмотрим некоторые примеры.

Пусть вычисляется интеграл . Представим в виде , где функция является гладкой. Функцию можно рассматривать как весовую. Этой весовой функции соответствует квадратура Мелера, часто называемая квадратурой Эрмита. Пусть вычисляется , причем может быть представлена в виде где - гладкая функция, . При вычислении интеграла по формуле трапеций с постоянным шагом погрешность стремится к нулю медленнее, чем . Один из возможных способов вычисления интеграла — обращение к квадратурам Гаусса, соответствующим данной весовой функции.

2. Можно пойти но пути разбиения интеграла на части и вычисления интеграла по каждой части при помощи построений из § 7. Представим интеграл в виде

Заменив функцию на интерполяционный многочлен

получим

Суммируя правые части в (1), получим квадратуру для вычисления исходного интеграла. В ряде случаев будет удобнее положить и, таким образом, получить квадратуру, имеющую вид

Задача 1. Для квадратуры (2) получить оценку погрешности

Далее будут рассмотрены более простые по виду способы вычисления интегралов от функций с особенностями. Описанный выше способ аппроксимации интеграла по значениям функции на фиксированной, в частности, равномерной сетке обладает определенными преимуществами в случае, когда задача вычисления интеграла представляет часть более сложной задачи, например при решении интегральных уравнений путем сведения к решению системы линейных алгебраических уравнений. Иногда необходимая точность уже достигается при замене функции на отрезках разбиения на постоянную. В этом случае полагаем

и квадратура для вычисления исходного интеграла приобретает вид

Задача 2. Пусть вычисляется интеграл

Показать, что при использовании формулы трапеций с постоянным шагом погрешность оценивается через

(4)

Задача 3. При квадратура (3) для этого интеграла имеет вид

где . Получить оценку погрешности

В рассматривавшихся выше случаях коэффициенты квадратур имеют вид

где - некоторые многочлены, причем эти интегралы вычисляются в явном виде. Для ряда классов задач, где эти интегралы не вычисляются в явном виде, может оказаться разумным найти эти интегралы при помощи численного интегрирования. Эта дополнительная работа оправдывается, если получившиеся формулы используются многократно, например, при вычислении большой серии интегралов, при вычислении кратных интегралов как повторных (см. гл. 5), а также при решении интегральных уравнений.

3. Пусть теперь вычисляется

где — большое число, достаточно гладкая функция. Будем рассматривать функцию как весовую. Представим интеграл в виде

для вычисления интеграла применим квадратуру типа (7.2).

4. В некоторых случаях подынтегральную функцию можно представить в виде , причем берется в явном виде, а — гладкая функция. Пусть вычисляется интеграл

Возьмем . Тогда функция имеет вид

Величина будет конечна, и можно показать, что погрешность вычисления интеграла по формуле трапеций с постоянным шагом имеет порядок . Чтобы погрешность формулы Симнсона имела порядок , следует взять .

В случае — малое число, целесообразно взять

Достигаемое здесь расширение области аналитичности подынтегральной функции особенно эффективно при использовании формулы Гаусса.

5. Другим способом устранения особенности подынтегральной функции является замена переменной интегрирования. При замене переменных исходный интеграл преобразуется к виду

где

За счет множителя происходит устранение особенностей подынтегральной функции в отдельных точках. Произведя в интеграле (5) замену переменной , получим

При интеграл конечен, поэтому погрешность формулы трапеций имеет порядок . С увеличением растет порядок производных , для которых интеграл ограничен, поэтому можно применять квадратуры все более высокого порядка точности.

Если очень большое, то производные функции хотя и конечны, но очень большие, следовательно, должна соблюдаться определенная пропорция между величиной и числом узлов N. Необходимость соблюдения осторожности при употреблении очень больших видна хотя бы из следующего.

Постоянный шаг в интеграле (6) соответствует узлам интегрирования в исходном интеграле, поэтому при больших к используется мало значений подынтегральной функции в правой части отрезка [0, 1] (рис. 3.16.1).

Рис. 3.16.1

6. Как мы уже видели в § 11, скорость сходимости при вычислении интегралов от функций с особенностями повышается также за счет распределения узлов интегрирования.

7. В некоторых случаях приходится идти по пути сочетания некоторых из описанных способов. Пусть вычисляется интеграл

где — большое число, - гладкая функция, . Наличие множителя требует выделения его как весового. Наличие множителя требует принятия специальных мер для интегрирования в окрестности нуля. Замена переменных в данном случае является неприемлемой, поскольку для соответствующей весовой функции невозможно вычисление в явном виде коэффициентов квадратурных формул. Здесь целесообразнее разбить отрезок интегрирования на неравные части, соответствующие оптимальному распределению узлов при вычислении интеграла от функции , и применить на каждой части интерполяционные квадратурные формулы (§ 3), соответствующие весовой функции . В случае интегралов типа при — гладкой функции, такой способ будет неприемлемым, поскольку в окрестности точки неинтегрируемая функция не аппроксимируется многочленами. Здесь целесообразно разбить исходный интеграл на части и , где . Для вычисления второго интеграла разумно применить процедуру, которая описана выше. В первом интеграле функция не играет роли осциллирующего множителя, поскольку при таком выборе она имеет на конечное число колебаний. Поэтому этот интеграл можно вычислять, например, распределив узлы интегрирования соответственно оптимальному распределению для функции , аппроксимирующей подынтегральную при малых .

8. Упомянем метод Ромберга. Погрешность формулы трапеций с постоянным шагом при вычислении интеграла для гладкой функции представляется в виде и имеются основания для применения приемов, положенных в основу метода Ромберга.

9. Решение ряда задач сводится к вычислению сингулярных интегралов типа

где . Интеграл понимается в смысле главного значения, т. е. как предел

Интеграл может быть записан как сумма интеграла по отрезку, симметричному относительно точки , и интеграла от гладкой функции по оставшейся части. Для простоты предполагаем, что первый интеграл преобразован к виду . Если функция удовлетворяет условию Гельдера в точке , т.е. , то последний нтеграл равен несингулярному интегралу . В частности, если - гладкая функция, то новая подынтегральная функция - также является гладкой.

В ряде случаев, например при решении интегральных уравнений с сингулярными ядрами, возникает следующая ситуация. Значения функции задаются на некоторой фиксированной сетке. Исходя из информации об этих значениях, требуется вычислять значения интеграла при различных . Если — достаточно гладкая функция, то здесь можно поступить следующим образом.

Разбиваем отрезок на части . На каждой из частей приближаем функцию интерполяционным многочленом . При этом требуем, чтобы при всех q было выполнено условие

Исходный интеграл заменяем суммой интегралов

Интегралы вычисляем в явном виде. Если , то соответствующий интеграл следует рассматривать как сингулярный. Если , то следует объединить интегралы и (расходящиеся) в один сингулярный интеграл

Получившиеся интегралы вычислим в явном виде.

Задача 5. Пусть отрезок интегрирования разбит на равные части длины Н и на каждой части функция аппроксимируется при помощи линейной интерполяции. Таким образом, исходный интеграл аппроксимируется суммой интегралов

где . В предположении ограниченности получить оценку погрешности .

Полезно указать на следующую практически важную деталь. Если решение задачи содержит какие-то неисследованные особенности, ухудшающие сходимость методов, то лучше сразу выделить простейшую модельную задачу, содержащую эти особенности, и провести выбор метода и проверку применимости различных асимптотических критериев на этой модельной задаче. Этот путь обычно приводит к более быстрому пониманию существа вопроса и избавляет от необходимости проведения многочисленных экспериментов на самой задаче. В частности, достигается экономия труда математика при программировании задачи, машинного времени и упрощается исследование за счет возможности построения более содержательных графиков поведения погрешности; здесь имеем возможность получить больше точек (14.8) или (14.12), поскольку для простой задачи их получение менее трудоемко,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление