Главная > Методы обработки сигналов > Численные методы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 4. Приближение функций и смежные вопросы

Непрерывная функция не всегда может быть хорошо приближена интерполяционным многочленом Лагранжа. В частности, последовательность интерполяционных многочленов Лагранжа по равноотстоящим узлам не обязательно сходится к функции даже в том случае, если функция бесконечно дифференцируема. В тех случаях, когда сходимость имеет место, часто получение достаточно хорошего приближения требует использования полиномов высокой степени. В то же время, если для приближаемой функции удается подобрать подходящие узлы интерполяции, то степень интерполяционного многочлена, приближающего функцию с заданной точностью, может быть значительно снижена.

В ряде конкретных случаев целесообразно приближать функцию не путем интерполяции, а путем построения так называемого наилучшего приближения. Проблемы, связанные с построением наилучшего приближения, и будут рассмотрены в настоящей главе.

§ 1. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве

Сформулируем задачу построения наилучшего приближения на абстрактном языке. Пусть имеется элемент линейного нормированного пространства . Требуется найти его наилучшее приближение линейной комбинацией данных линейно независимых элементов . Это означает: найти элемент такой, что

По-другому это можно обозначить следующим образом:

Если такой элемент существует, то он называется элементом наилучшего приближения.

Теорема. Элемент наилучшего приближения существует.

Доказательство. Вследствие соотношений (следствие из неравенства треугольника)

функция

является непрерывной функцией аргументов при любом . Пусть - евклидова норма вектора . Функция непрерывна на единичной сфере и, следовательно, в пекоторой ее точке достигает своей нижней грани F по сфере, причем , так как равенство противоречит линейной независимости элементов . Для любого справедлива оценка

Пусть . Функция непрерывна в шаре следовательно, в некоторой точке шара она достигает своей нижней грани по шару. Имеем . Вне этого шара выполняются соотношения

Таким образом, вне этого шара

при всех возможных . Теорема доказана.

Элементов наилучшего приближения, вообще говоря, может быть несколько.

Пространство R называется строго нормированным, если из условия

следует .

Задача 1. Доказать, что в случае строго нормированного пространства , элемент наилучшего приближения единствен.

Задача 2. Доказать, что пространство почти всюду, с нормой

строго нормированное при .

Рассмотреть отдельно простейший случай гильбертова пространства

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление