Главная > Методы обработки сигналов > Численные методы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Конечно-разностные методы

Среди -шаговых методов наиболее употребительны методы интегрирования на сетке с постоянным шагом при помощи соотношений вида

где — постоянные, — некоторые функции, определяемые функцией . В свою очередь, среди таких методов традиционно наиболее употребительны методы

которые принято называть конечно-разностными методами или конечно-разностными схемами.

В вычислительной практике применяются формулы (1), (2) со значениями - явные, или экстраполяционные, и формулы с — неявные, или интерполяционные.

Формулы (1), (2) при , называемые формулами с забеганием вперед, рассматриваться не будут, поскольку они не нашли распространения в вычислительной практике из-за сложности использования. Тем не менее их следует принимать во внимание при проведении теоретических рассмотрений, так как они расширяют класс используемых конечно-разностных схем. В дальнейшем предполагается, что . При уравнение (2) можно записать в виде

Здесь

не зависит от . Будем решать это уравнение методом простой итерации:

Поскольку , то при достаточно малых h выполнено условие сжимаемости отображения и поэтому итерационный процесс сходится. Начальное приближение определяется из какой-либо явной формулы

Число итераций на шаге определяется из разумного соотношения трудоемкостью итераций и точностью получаемых в процессе итераций приближений так же, как в случае формулы (2.4), являющейся частным случаем формулы (2).

Простейшие методы типа (2) получаются на основе квадратурных формул. Всякая квадратурная формула

где — остаточный член, порождает соответствующую формулу численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Действительно, подставляя в (3) соотношение , имеем

Заменяя на и отбрасывая , получим

Соответствующая конечно-разностная схема запишется следующим образом:

Например, формуле трапеций

соответствует интерполяционная формула

формуле Симпсона

-интерполяционная формула здесь . Квадратурной формуле прямоугольников, записанной в виде

соответствует экстраполяционная формула

Если остаточный член квадратуры (3) оценивается через , то погрешность равенства (4) будет оцениваться через .

В настоящее время из конечно-разностных методов, как правило, употребляются на практике только методы, соответствующие их называют методами Адамса.

Другие известные методы вида (2) не выдержали испытания на практике по следующим причинам:

1) отсутствует сходимость при уменьшении шага (в предположении отсутствия вычислительной погрешности) даже для бесконечно дифференцируемых правых частей ;

2) при наличии сходимости происходит экспоненциальный рост (с увеличением X) погрешности в рассмотренном в предыдущем параграфе случае, когда ;

3) для некоторых схем при возникают дополнительные (по сравнению со случаем неудобства при изменении шага интегрирования.

Явные формулы Адамса обычно записываются в виде

а неявные — в виде

здесь, как и в § 2.10,

Коэффициенты вычисляются по формулам

Задача 1. Показать, что

Обычно методы Адамса используются по следующей схеме. Сначала вычисляется нулевое приближение по явной формуле Адамса. и затем производятся 1-2 итерации на основе неявной формулы (с тем же значением ).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление