Главная > Методы обработки сигналов > Численные методы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Метод неопределенных коэффициентов

Для построения формул численного интегрирования можно также использовать метод неопределенных коэффициентов. Заменим производную и значение некоторыми выражениями

(предполагается, что не зависят от h). Отсюда получаем приближенное равенство

Ему соответствует конечно-разностная схема

Величина

называется погрешностью аппроксимации исходного дифференциального уравнения схемой (4).

Определение. Разностная схема аппроксимирует дифференциальную на отрезке , если

Вспоминая, что , получим

Предположим, что все производные решения до порядка q ограничены:

Представим все величины с помощью формулы Тейлора следующим образом:

где согласно оценке остаточного члена ряда Тейлора имеем

Подставим выражения в правую часть представления и соберем коэффициенты при . Получим

здесь

Имеем

где

Как правило, производя более аккуратную оценку, можно уменьшить значение в оценке . Если то и говорят, что схема (4) имеет порядок аппроксимации. Всякая схема порядка аппроксимации является схемой порядка аппроксимации при . Если , то говорят, что порядок аппроксимации строго равен .

Согласно (1), (2) для любой гладкой имеем соотношения

Лемма. Соотношения (7) выполнены тогда и только тогда, когда

Доказательство. Согласно формуле Тейлора имеем

Подставляя эти соотношения для левых частей в (7), получим

Для справедливости этих соотношений необходимо и достаточно выполнения условий

Левая часть первого из этих равенств равна , разность левых частей второго и третьего равна . Отсюда следует справедливость утверждения леммы.

Уравнения образуют однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных. Если число неизвестных больше числа уравнений, т. е. (или, что то же самое, ), то эта система имеет ненулевое решение. Можно показать, что при эта система имеет однопараметрическое семейство ненулевых решений

причем . Выбирая , получим разностную схему порядка аппроксимации. Иногда возникает необходимость построить явную схему . Решая систему уравнений и выбирая решение , получаем схему порядка аппроксимации.

Примеры. При общее решение системы уравнений имеет вид . Из условия (8) получаем ; расчетная схема имеет вид

Заметим, что выше эта схема была получена из формулы Симпсона.

Если потребовать выполнения равенств , то получим схему

Отметим следующее обстоятельство. Если равенства

выполняются с точностью до членов порядка , то величина , равная разности погрешностей этих соотношений, имеет порядок и, следовательно, согласно . Однако для выполнения условия не обязательно требовать, чтобы погрешности приближенных соотношений (10), (11) имели порядок . Например, для последней схемы , в то время как погрешности соотношений (10) порядка .

Кроме построенных выше методов типа Рунге—Кутта и конечно-разностных методов следует отметить группу методов, где при нахождении каждого нового значения используется несколько предшествующих значений как в конечно-разностных методах, но в то же время на каждом шаге производится несколько вычислений правой части, гак в методах Рунге—Кутта. Пример метода этой группы:

погрешность на шаге порядка ; здесь .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление