Главная > Методы обработки сигналов > Численные методы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. Методы численного интегрирования уравнений второго порядка

Введением новых неизвестных функций дифференциальные уравнения порядка выше первого и их системы сводятся к системам уравнений первого порядка. Таким образом, при формальном подходе вопрос о численном решении задачи Коши для уравнений высших порядков можно было бы считать исчерпанным.

Однако методы, приспособленные специально для решения уравнений высших порядков, часто более эффективны. При разработке таких методов нужно также иметь в виду широкое распространение систем уравнений высоких порядков специального вида, учет специфики которых может еще более повысить эффективность методов. Например, ряд задач небесной механики сводится к интегрированию систем уравнений

Рассмотрим несколько более широкий класс уравнений

Как и выше, рассуждения проводятся для одного уравнения, поскольку перенос результатов на случай системы осуществляется автоматически. Традиционно наиболее распространенными методами интегрирования таких уравнений являются явный

и неявный

конечно-разностные методы. Эти методы можно было бы получить методом неопределенных коэффициентов, потребовав, чтобы разность

была величиной как можно более высокого порядка по h. Здесь, как обычно, предполагается .

Одним из наиболее употребительных среди этих методов является неявный метод четвертого порядка точности вида (2) (часто называемый методом Нумерова) при :

который особенно удобен в случае линейных задач.

Для целей численного интегрирования уравнения

употребительными являются следующие методы: значения приближений к вычисляются из совокупности явных рекуррентных соотношений вида

или неявных вида

Уравнения более высокого порядка, чем второй, на практике часто сводят к системам уравнений второго или первого порядков (см, также § 9.11).

Как и в случае конечно-разностных схем для уравнений первого порядка, отбросим в (1) и (2) слагаемые, содержащие значения , и рассмотрим получившееся разностное уравнение. В обоих случаях оно имеет вид

Его характеристическое уравнение имеет кратный корень . Не нужно пугаться того, что корень оказался кратным: если в разностных схемах, аппроксимирующих уравнения первого порядка, перед значениями стоял коэффициент порядка h, то здесь стоит коэффициент порядка .

Все упоминавшиеся ранее разностные схемы интегрирования уравнения могут быть представлены в виде

(3)

при этом для гладкой функции

при фиксированном кроме того, . Пусть погрешность аппроксимации (результат подстановки в левую часть решения дифференциальной задачи):

и равномерно на всем рассматриваемом отрезке интегрирования . Как и в случае уравнений первого порядка, из-за округлений при вычислениях и неточности решения уравнения относительно неизвестной в случае неявной схемы реально получаемое приближенное решение удовлетворяет (3) с некоторой погрешностью. Таким образом, имеем

Вычитая из этого соотношения предыдущее, получим уравнение для погрешности :

где . Пусть

Теорема (без доказательства). Пусть все корни характеристического уравнения разностной схемы

лежат в единичном круге и на границе круга нет кратных корней, за исключением двукратного корня, равного 1. Тогда при справедлива оценка погрешности

При численной реализации методов решения уравнений второго порядка с целью уменьшить влияние вычислительной погрешности целесообразно преобразовать расчетные формулы к другому виду.

Методы численного решения уравнений второго порядка могут быть использованы при численном решении уравнения, где производная решения не выражается явно через само решение и аргумент; для определенности рассмотрим скалярный случай

Если бы это уравнение удалось разрешить относительно , то получилось бы некоторое уравнение

Первый возможный путь решения задачи состоит в формальном применении методов Рунге-Кутта или конечно-разностных методов; для каждых и значение определяется путем численного решения уравнения

Хорошее начальное приближение к искомому значению можно получить интерполяцией ранее найденных значений, поэтому число требуемых итераций (например, в методе секущих) обычно оказывается небольшим. В случае неявных методов бывает целесообразно сразу решать систему уравнений

относительно неизвестных .

Иногда (крайне редко) поступают следующим образом: дифференцируя исходное уравнение по , получают соотношения

и т.д. Если значение уже найдено, то из этих соотношений можно явным образом определить значения , а затем получить с помощью формулы Тейлора.

Первое из этих соотношений можно переписать в виде

Отсюда получается третий путь решения задачи: из уравнения

определяется , и далее численно интегрируется уравнение

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление