Главная > Методы обработки сигналов > Численные методы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Функция Грина сеточной краевой задачи

Функция , введенная в § 1 при доказательстве леммы 2, носит название мажорирующей функции, и метод получения оценок погрешности с использованием этой функции называется , мажорант, или методом Гершгорина.

В ряде случаев, когда метод мажорант неприменим, оценку погрешности приближенного решения можно получить, используя так называемую сеточную функцию Грина. Проводимые ниже построения функции Грина сеточной краевой задачи (1.3), (1.4) кроме всего прочего интересны своей аналогией со случаем дифференциальной краевой задачи. Функция Грина дифференциальной краевой задачи

определяется как решение уравнения

при граничном условии ; здесь -функция. Функцию Грина можно задать следующими явными формулами. Пусть - решения уравнения при условиях

тогда

где — значение определителя Вронского:

Решение задачи (1.1), (1.2) записывается с помощью функции Грина в виде

Перейдем к сеточной задаче

По аналогии определим функции из соотношений

Здесь и далее оператор применяется при фиксированном верхнем индексе

Аналогом определителя Вронского является определитель

Из тождества

следует, что величина , не зависит от ; будем обозначать ее . Положим

Из определения следуют равенства

при ,

при ; при имеем

Согласно определению первая круглая скобка равна 0; вторая скобка равна . В итоге при получаем объединяя полученные соотношения, имеем

Функция является сеточным аналогом -функции, а равенство (5) — аналогом (1). Сеточные функции являются решениями сеточных задач Коши, соответствующих задачам Коши, определяющим функции .

Предположим, что

тогда можно показать, что

Оценив близость начальных данных и воспользовавшись далее (недоказанной) теоремой из § 8.10, можно получить оценку близости сеточных и дифференциальных решений задачи Коши вида

Согласно свойствам имеем

Поэтому

на основании оценки (7).

Далее предполагается, что в противном случае однородная краевая задача имеет ненулевое решение , а следовательно, неоднородная краевая задача (1.1), (1.2) или не имеет решения, или имеет неединственное решение. Будем также предполагать h настолько малым, что . В этом случае имеем

Сравнивая явные выражения функции Грина дифференциальной (2) и сеточной (4) задач с учетом оценок (7), (8), получаем

Лемма. Если , то рассматриваемая сеточная задача (1.3), (1.4) однозначно разрешима и ее решение записывается в виде

Формула (9) является сеточным, аналогом формулы (2).

Доказательство. Поскольку согласно определению функции здесь выполняется равенство , то . Имеем равенство

коэффициенты при и равны нулю по определению функций . Воспользовавшись равенством (5), получим . Таким образом, система линейных уравнений (1.3), (1.4) при любых правых частях имеет решение, записываемое в виде (9). Но если система линейных уравнений разрешима при любых правых частях, то ее решение единственно. Лемма доказана.

Соотношение (9) может быть двояким способом использовано для оценки близости решений сеточной и дифференциальной задач.

Первый путь состоит в непосредственном сравнении выражений (2) и (9). Для простоты продемонстрируем его в случае . Подставляя , перепишем (2) в виде

При условиях и (6) можно показать, что подынтегральные функции в обоих интегралах имеют ограниченную вторую производную. Заменим оба эти интеграла по формуле трапеций с шагом h. Получим

Разбиение интеграла на две части потребовалось в связи с тем, что погрешность формулы трапеций оценивается через вторую производную подынтегральной функции, а функция имеет разрыв первой производной в точке .

Поскольку из определения функции Грина следует, что , то

Из равенств (9), (10) следует

Воспользовавшись оценкой (7), получим . Нетрудно проследить, что эта оценка погрешности равномерна по при , т.е.

Другой путь состоит в получении уравнения для погрешности и дальнейшей оценки погрешности с помощью формулы Грина. В § 1 было показано, что погрешность удовлетворяет уравнению

где — погрешность, обусловленная неточностью решения системы (1.3), (1.4). Пусть . Из явного вида функции Грина дифференциальной задачи следует ее равномерная ограниченность; с учетом (7) получаем, что функция также равномерно ограничена: при . Напишем явное представление с помощью формулы Грина (9):

Тогда из (11) следует оценка

Загрубляя, получим оценку

имеющую тот же порядок по отношению к h и что и полученная в § 1 оценка.

Эта оценка применима и при , когда лемма 1.2 неприменима. Таким образом, использование аппарата функции Грина позволяет расширить множество задач, для которых удается получить оценку погрешности сеточного решения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление