Главная > Теория связи > Введение в теорию помехоустойчивого кодирования
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Системы типа М

Системы, в которых число возможных решений совпадает с числом возможных сообщений , условимся называть системами типа М.

Пусть передается сообщение , тогда с вероятностью Ям будет приниматься решение «нежелательность» которого оценивается величиной . При этом средняя величина потерь окажется равной

(III.4.1)

Величина в теории решений носит название «частного (условного) убытка» или «частного (условного) риска».

Вероятность реализации потерь совпадает с априорной вероятностью передачи сообщения , поэтому среднее значение суммарного убытка (среднего риска)

(III.4.2)

Средний риск является одной из важнейших количественных характеристик работоспособности системы передачи при наличии помех.

Заметим, что формула (III.4.2) справедлива для любой системы, не имеющей канала обратной связи, а не только для систем типа М.

Скоростью передачи , в отличии от классического ее определения, данного К. Шенноном [44], условимся называть величину

(III.4.3)

При такой форме она не зависит в явном виде от численных значений элементов матрицы потерь и матрицы трансформации сообщений (III.2.3).

Из выражения (III.4.2) легко получить ряд критериев, допускающих простое и наглядное толкование. Так, если в (III.4.1) положить

(III.4.4)

то с учетом (III.3.2)

(III.4.5)

Средний риск здесь зависит только от величин , расположенных и а главной диагонали матрицы трансформации сообщений, и численно совпадает с — средней вероятностью неправильного декодирования.

Пусть элементы матрицы потерь

(III.4.6)

тогда

(III.4.7)

При соотношение (III.4.6) можно толковать как среднее значение модуля разности .номеров переданных и принятых сообщений, а при — как средний квадрат отклонения номеров принятых сообщений от переданных.

Критерий (III.4.5) обычно используется в системах, где все ошибки декодирования более или менее одинаково нежелательны, а критерии вида (III.4.7) находят широкое применение в системах, предназначенных для передачи числовой и ей подобной информации.

Пример. Пусть для передачи сообщений используется семизначный бинарный код:

(III.4.8)

При выбранном коде согласно (III.4.3) скорость передачи

(III.4.9)

Допустим, что в системе используется посимвольный метод приема. Тогда выходное множество канала будет содержать комбинаций. Зададимся процедурой декодирования, включив в каждое подмножество помимо комбинации все комбинации, отличающиеся от нее в одной позиции, а также комбинации, отличающиеся от одновременно в следующих позициях: 3 и 4; 4 и 5; 4 и 6; 4 и 7; 5 и б; 5 и 7; б и 7; 4, 5 и 6.

Так, например, в подмножество окажутся включенными комбинации:

(III.4.10)

Если считать канал симметричным (II.4.5), то вероятность правильного декодирования

(III.4.11)

а вероятность принять решение при условии, что передается сообщение .

(III.4.12)

где — число комбинаций подмножества , содержащих точно символов единиц. Число называют весом комбинации. Расчет величин и не сложен, но достаточно трудоемок. Так, из (III.4.10) легко установить, что подмножество содержит три комбинации веса 2, пять веса 3, пять веса 4 и три комбинации веса 5. Проведя соответствующие расчеты, найдем:

(III.4.13)

Вероятности имеют разные значения, несмотря на то, что а комбинации кода отличаются одна от другой точно в позициях, и каждое подмножество содержит одинаковое число элементов.

Код (III.4.8) относится к так называемым групповым кодам, корректирующим максимально возможное число ошибок. Как будет показано позже, в этом случае каждая стрбка матрицы (III.2.3) представляет собой определенную перестановку элементов ее первой строки, причем . Таким образом, значение величии (III.3.13) позволяет в явном виде записать выражение для среднего риска.

В частности, если средний риск не зависит от значений априорных вероятностей и совпадает с вероятностью примять неправильное решение (III.4.5):

(III.4.14)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление