Главная > Теория связи > Введение в теорию помехоустойчивого кодирования
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Оптимальная процедура декодирования

Теорема IV.1. При любой фиксированной процедуре кодирования [матрица (IV. 1.1)] средний риск (IV.3.6)

достигает минимума, если сигнал включить в такое подмножество , для которого

(IV.4.1)

или, что то же самое,

(IV.4.2)

Доказательство. Пусть множество разбито на подмножеств в соответствии с (IV.4.1)-(IV.4.2). Допустим, что при этом сигнал оказался включенным в подмножество Тогда при передаче сообщения с вероятностью (IV.1.1) будет приниматься решение , а значение среднего точечного риска будет удовлетворять условию:

(IV.4.3)

Это неравенство следует из (IV.4.2) и (IV.3.4).

Средний риск достигает минимума по крайней мере тогда, когда каждое изслагаемых правой части (IV.3.6) имеет минимально возможное значение:

(IV.4.4)

или, что то же самое,

(IV.4.5)

Неравенство (IV.4.5) с точностью до индексов совпадает с (IV.4.3), что и доказывает теорему.

Алгоритм (IV.4.1)-(IV.4.2) разбиения на подмножеств универсален в том смысле, что он обеспечивает минимум среднего риска в системах без обратной связи при любых наперед заданных процедуре кодирования, интегральной статистической характеристике канала, матрице потерь и т. д. Единственность этого алгоритма не доказывалась, поэтому, возможно, существуют другие алгоритмы декодирования, которые приводят к тому же самому результату.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление