Главная > Физика > Классическая механика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Основные понятия и предположения классической механики

Помимо предположений о пространстве, времени и способе введения систем отсчета, о которых выше шла речь, введем некоторые дополнительные понятия и предположения.

Выше уже говорилось, что классическая механика изучает движения «больших скоплений» элементарных частиц. Но для того, чтобы «большие скопления» могли быть предметом исследования, в рассмотрение должны быть введены соответствующие идеализированные объекты.

Основной идеализированный объект, движение которого изучается классической механикой, называется материальной точкой. Материальный объект рассматривается как материальная точка, если можно считать, что в любое мгновение во всех его частях скорости и ускорения одинаковы. Вопрос о том, можно ли рассматривать тот или иной объект как материальную точку, решается не размерами этого объекта, а особенностями его движения и степенью идеализации задачи. Так, например, во многих задачах небесной механики кометы, планеты и др. небесные тела рассматриваются как материальные точки.

Массой материальной точки (она обозначается далее буквой m) называется масса того материального объекта, который в принятой идеализации считается материальной точкой.

Множество материальных точек (конечное, счетное или мощности континуума) мы будем называть твердым телом, если во время движения расстояние между материальными точками не меняется. Таким образом, твердым телом мы называем не только бесконечное множество материальных точек, заполняющих некоторый объем, но и, например, множество, состоящее из восьми материальных точек, расположенных в вершинах единичного куба, если в любой момент движения эти точки остаются вершинами этого куба.

Как и в случае материальной точки, вопрос о том, можно ли (и нужно ли) рассматривать некий материальный объект как твердое тело, определяется не его размерами, а особенностями движения и степенью идеализации задачи. Так, например, Землю удобно рассматривать как твердое тело, если надо учесть ее вращение вокруг собственной оси, но как твердое тело удобно иногда рассматривать и простейшую модель молекулы.

1. Взаимодействие материи. Инерциальные системы отсчета.

Взаимодействие материи. Материальные объекты, расположенные в разных частях пространства, взаимодействуют, т. е. движение одних материальных объектов зависит от наличия других материальных объектов и их движения; таковы, скажем, гравитационные, электрические, магнитные и иные взаимодействия. Физическая природа этих взаимодействий связана с понятием о физических полях, которое не укладывается в исходные представления классической механики. Так, например, с точки зрения общей теории относительности гравитационные взаимодействия материи являются следствием того, что время и пространство взаимосвязаны в единый четырехмерный континуум «пространство-время», что этот континуум подчиняется законам не евклидовой, а римановой геометрии, т. е. что он «искривлен», и что локальная кривизна в каждой его точке зависит от распределения материальных объектов и их движения. Таким образом, физические причины гравитационного взаимодействия материи тесно связаны с такими свойствами пространства и времени, которые не учитываются в исходных предположениях классической механики.

Естественно поэтому, что классическая механика не может учесть причины взаимодействия материи в той форме, в какой они реализуются в материальном мире. Механика просто учитывает тот факт, что наличие материального объекта в одном месте пространства оказывает влияние на движение материального объекта, расположенного в другом месте пространства, не интересуясь физической причиной этого взаимодействия, и вводит в рассмотрение еще одну идеализацию — представление о дальнодействии.

Эта идеализация компенсирует то обстоятельство, что физическая природа взаимодействия материальных объектов не может быть описана в рамках исходных представлений классической механики о пространстве и времени.

Множество материальных точек, взаимодействующих одна с другой, называется системой материальных точек безотносительно к тому, учитывается или не учитывается воздействие на материальные точки, входящие в эту систему, иных, не входящих в нее материальных объектов. Если система материальных точек движется только под влиянием внутренних взаимодействий, т. е. взаимодействий материальных точек, входящих в систему, то она называется замкнутой системой материальных точек. Понятие замкнутой системы материальных точек — условное, идеализированное понятие. Разумеется, в реальном мире все материальные объекты взаимосвязаны хотя бы потому, что гравитационные взаимодействия в принципе осуществляются при любых расстояниях между материальными объектами, однако при идеализации задачи можно пренебречь слабыми взаимодействиями других материальных объектов с теми материальными объектами, которые входят в рассматриваемую систему, по сравнению с взаимодействиями между ними. Так, например, два небесных тела, Землю и Луну, считают замкнутой системой, если интересуются лишь взаимным движением Земли и Луны и пренебрегают воздействием на них всех остальных небесных тел, в том числе Солнца и других планет. Три небесных тела — Солнце, Землю и Луну — считают замкнутой системой, если интересуются лишь взаимодействием между этими телами и пренебрегают воздействием иных планет Солнечной системы на их движение. Солнечная система в целом является примером замкнутой системы лишь в тех случаях, когда интересуются взаимодействием между всеми входящими в нее телами и считают возможным пренебречь воздействием на тела, входящие в Солнечную систему, других материальных объектов Вселенной.

В связи с тем, что по определению (см. выше) твердое тело состоит из материальных точек, твердое тело можно рассматривать как замкнутую систему, если можно пренебречь воздействием на него иных объектов материального мира.

Замкнутая система, состоящая только из одной точки, т. е. материальная точка, которую в принятой идеализации можно считать не подвергающейся каким-либо воздействиям, называется свободной материальной точкой.

Инерциальные системы отсчета. В первой главе было пояснено, каким образом в классической кинематике вводятся системы отсчета. В кинематике в силу предположения об однородносги и изотропности пространства и однородности времени все системы отсчета равноправны.

Среди всех вводимых так систем отсчета можно выделить подкласс систем, которые благодаря учету ряда специальных динамических свойств могут быть отличны от остальных. Именно, любую систему отсчета, по отношению к которой можно предположить, что свободная материальная точка движется равномерно и прямолинейно, называют инерциальной или галилеевой. Если существует хотя бы одна система, удовлетворяющая этому требованию, то существует бесконечное множество таких систем. Действительно, тогда инерциальной будет любая другая система отсчета, которая либо покоится относительно выделенной, либо движется относительно нее поступательно, причем начало отсчета движется равномерно и прямолинейно.

Предположение о наличии инерциальных систем отсчета затрагивает не только геометрические свойства движения одной системы отсчета по отношению к другой, но и непосредственно касается инерционных свойств материи. Факт наличия инерциальных (галилеевых) систем нельзя проверить экспериментально хотя бы потому, что в природе не существует свободных материальных точек, т. е. потому, что в реальных условиях нельзя выделить часть материи, изолировать ее от остального мира, сделать в реальных условиях так, чтобы движение этой части материи не подвергалось воздействию иных материальных объектов.

Для того чтобы в каждом конкретном случае выяснить, может ли какая-либо избранная система отсчета быть принята за гали-лееву, проверяют, сохраняется ли примерно неизменной скорость материального объекта, который приближенно считают свободной материальной точкой. Степень этого приближения определяет степень идеализации задачи.

Так, например, при изучении движения небесных тел за инер-циальную систему отсчета часто принимают декартову систему координат, начало которой помещено на какой-либо из так называемых неподвижных звезд, а оси направлены на другие неподвижные звезды, несмотря на то, что понятие «неподвижная звезда» условно и что звезды, которые при этом считаются неподвижными, на самом деле движутся (и притом с огромными скоростями) относительно других материальных объектов. Однако такое предположение оказывается достаточным, например, в том случае, когда можно ограничиться рассмотрением материальных объектов нашей Солнечной системы и взаимодействиями между ними.

При изучении движений, происходящих на Земле, иногда считают инерциальной систему, жестко связанную с Землей. Такая система отсчета не движется поступательно и равномерно относительно системы отсчета, связанной с неподвижными звездами, о которых выше шла речь. Однако ошибка, которая при этом вносится, часто невелика, и весь опыт механики показывает, что для изучения ряда «земных» движений такая идеализация достаточна. Аналогично поступает классическая механика и в иных случаях.

Выбор системы отсчета и «наделение» ее правом называться галилеевой каждый раз являются новым предположением, которое должно постулироваться или обосновываться.

Как только какая-либо система отсчета выбрана и в заданной идеализации принята за галилееву систему, все множество галилеевых систем в этой идеализации определено В системах отсчета из этого множества в силу самого определения инерциальной системы выполняется первый закон Ньютона: скорость свободной материальной тонки не меняется во время ее движения.

2. Инвариантность и ковариантность законов механики. Принцип относительности Галилея.

Классическая механика исходит из того, что все инерциальные системы равноправны. Смысл этого утверждения состоит в следующем: все законы и уравнения механики, установленные для замкнутой системы в какой-либо инерциальной системе отсчета, не изменяются при переходе к любой другой инерциальной системе отсчета Это утверждение называют принципом относительности Галилея.

Среди инерциальных систем содержатся системы, покоящиеся одна относительно другой (при этом начала координат этих систем могут быть произвольно смещены, а оси координат могут быть произвольно повернуты одна относительно другой); кроме того, в множестве инерциальных систем находятся системы, движущиеся одна относительно другой поступательно с постоянными скоростями. Поэтому утверждение о том, что законы механики не изменяются при переходе от одной инерциальной системы к другой, содержит в себе по существу следующие четыре утверждения

1 Законы и уравнения механики не изменяются при сдвигах систем отсчета, т. е. при преобразованиях вида

Это утверждение можно трактовать как «динамическое следствие» предположения об однородности пространства — если бы законы механики зависели от положения начала координат, то существовали бы динамические способы, позволяющие различить точки пространства друг от друга, выделить преимущественные точки.

2. Законы и уравнения механики не изменяются при поворотах систем отсчета относительно любой из осей координат, например при повороте вокруг оси на угол :

Это утверждение — «динамическое следствие» предположения об изотропности пространства так как если бы оно не было верно, то существовали бы динамические методы для различения одних направлений от других.

3. Законы и уравнения механики не изменяются при «сдвиге по времени», т. е. при преобразованиях вида

Таким образом, законы механики не устанавливают преимуществ для какого-либо выбора начала отсчета времени и не противоречат поэтому предположению об однородности времени.

4. Законы и уравнения механики не изменяются при преобразованиях, соответствующих равномерному поступательному движению системы отсчета, т. е. при преобразованиях вида

где — постоянные. Такие преобразования называются преобразованиями Галилея.

Разумеется, законы механики не должны изменяться также при любой комбинации этих преобразований, т. е. при выполнении их последовательно одно за другим.

Теперь надо уточнить, какой точный смысл вкладывается в слова «законы и уравнения механики не изменяются при некотором преобразовании». Законы механики, как мы увидим далее, записываются в виде равенств. В эти равенства в качестве переменных входят координаты, скорости и ускорения материальных точек, подсчитанные по отношению к какой-либо системе отсчета, и функции от этих переменных — координат, скоростей и ускорений. Роль таких функций далее будут играть силы, энергия системы (потенциальная, кинетическая или полная), количество движения (импульс) и иные функции, которые будут введены в рассмотрение в этой и в следующих главах. Говорят, что законы и уравнения механики не меняются при некоторых преобразованиях системы отсчета или что они инвариантны по отношению к этим преобразованиям, если равенства, выражающие законы механики, удовлетворяют следующим двум условиям.

1° После выполнения преобразований, связанных с переходом к новой системе отсчета, структура равенств в «новых» переменных имеет совершенно такой же вид, какой она имела в «старых» переменных.

2° Все функции от координат, скоростей и ускорений, которые содержатся в этих равенствах, в результате преобразования не меняются, т. е. как функции «новых» переменных они имеют совершенно такой же вид, какой они имели до преобразования как функции «старых» переменных.

Законы и уравнения механики содержат обычно не только координаты точек, но и их скорости и (или) ускорения. Поэтому по отношению к перемещениям точек равенства, выражающие законы или уравнения механики, являются дифференциальными уравнениями. Но для того чтобы из дифференциальных уравнений можно было определить движение, должны быть заданы еще и начальные данные.

Если в двух различных инерциальных системах взять численно одинаковые начальные данные, то в связи с тем, что законы движения имеют в них одинаковый вид, движения в этих системах будут описываться одинаковыми функциями времени.

В качестве примера рассмотрим следующие уравнения:

Непосредственно видно, что преобразование любого из перечисленных выше четырех типов не меняет ни вида этих уравнений, ни вида функций , содержащихся в их правых частях. Для того чтобы получить результат преобразования, нужно всюду в исходных уравнениях просто «приписать» звездочки к «старым» переменным .

Если система не является замкнутой, т. е. если учитывается влияние на точки системы других материальных объектов, не входящих в нее, то, вообще говоря, при переходе от одной инерциальной системы к другой структура равенств, выражающих законы и уравнения механики, может изменяться. Часто удается, однако, придать этим равенствам такой вид, чтобы при переходе от одной инерциальной системы к любой другой структура этих равенств сохранялась, хотя вид содержащихся в этих равенствах функций координат и скоростей точек может меняться. В таких случаях говорят, что форма записи законов или уравнений механики ковариантна по отношению к преобразованиям в классе инерциальных систем. Подобным же образом можно говорить о ковариантности законов и уравнений механики по отношению к иным классам преобразований систем отсчета. Разумеется, может оказаться, что и у незамкнутой системы имеет место не только ковариантность, но и инвариантность законов механики, но по отношению не к произвольным преобразованиям в классе инерциальных систем, а при каких-либо преобразованиях частного вида.

В качестве примера незамкнутой системы рассмотрим движение системы, описываемой уравнением

где

Это уравнение инвариантно относительно «сдвига по времени»

но при «сдвиге системы отсчета»

получается уравнение

где

Таким образом, в результате преобразования форма уравнений не изменилась, как функция новой переменной отличается от функции старой переменной . Следовательно, рассматриваемое уравнение движения материальной точки представлено в форме, ковариантной относительно сдвигов. Читатель может сам убедиться в том, что это же уравнение инвариантно относительно поворотов вокруг любой оси, но лишь ковариантно относительно галилеевых преобразований.

Для читателей, знакомых с тензорным исчислением, сделаем следующее важное дополнительное замечание. Одним из исходных предположений в механике является утверждение о том, что все механические величины характеризуются тензорами нулевого, первого или второго ранга, а все законы и уравнения механики представляют собой тензорные равенства. Это значит, что в каждом законе должны содержаться слагаемые, представляющие собой тензоры одного и того же ранга, и из самого определения тензора следует, что любые равенства, выражающие законы и уравнения механики (как для замкнутых, так и для незамкнутых систем), ковариантны по отношению к повороту координат. В отличие от этого ковариантность по отношению к другим преобразованиям не является свойством законов механики, а скорее определяется формой их записи. Одни и те же законы механики могут быть представлены и в ковариантной, и в нековариантной записи. Преимущество ковариантной записи состоит в том, что она не зависит от выбора систем отсчета в пределах соответствующего класса преобразований.

Понятия об инвариантности и ковариантности законов и уравнений механики являются центральными, и к этим понятиям мы будем неоднократно возвращаться в следующих главах.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление