Главная > Физика > Классическая механика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Вириал системы

В отличие от ранее рассмотренных теорем и законов механики в этом параграфе мы введем характеристику движения, имеющую статистический характер и связанную с усреднением механических величин во времени. Пусть — скалярная функция времени или механических величин, которые в свою очередь зависят от времени, и пусть — среднее значение F за время , т. е. по определению

Введем теперь в рассмотрение скалярную функцию

Ее полная производная по времени равна

Но

а

и поэтому

Усредним это равенство, т. е. проинтегрируем его правую и левую части по t от 0 до и разделим на :

Правая часть этого равенства обращается в нуль, если выполняется одно из следующих условий:

1° Движение периодическое с периодом ; в этом случае при всех , так что .

2° Интервал неограничен, а функция ограничена. При неограниченном средним значением F называется предел

Последнее равенство можно тогда переписать так:

Функция G ограничена, если при всех ограничены. Движение, для которого выполняется это условие, т. е. для которого

называется финитным.

Таким образом, если выполняется условие 1° или условие 2°, то

Правая часть этого равенства называется вириалом системы, а само равенство составляет содержание теоремы о вириале: При выполнении условий 1° или 2° среднее за время значение кинетической энергии системы равно ее вириалу.

Если система консервативна, т. е. если движение происходит в стационарном потенциальном поле с потенциальной энергией П, то

и равенство, выражающее теорему о вириале, можно записать так:

Рассмотрим теперь частный, но достаточно распространенный случай, когда П — однородная функция степени, т. е. функция, удовлетворяющая условию

В этом случае в соответствии с теоремой Эйлера об однородных функциях

и поэтому теорема о вириале приводит к равенству

С другой стороны, для консервативной системы в силу закона сохранения энергии

усредняя это равенство, получаем

Из равенств (28) и (29) следует, что

Эти соотношения устанавливают, в какой пропорции начальная энергия «делится в среднем» между кинетической и потенциальной энергией во время движения консервативной системы, если П — однородная форма степени и выполняется условие 1° или условие 2°.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление