Главная > Методы обработки сигналов > Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.2. Взаимосвязь кумулянтных и моментных скобок

1. Кумулянтные скобки связаны с моментными в полном соответствии со связью кумулянтов и моментов многомерного распределения. Так, например, формула (1.6.4), выражающая совместный момент третьего порядка совокупности трех случайных величин, через кумулянты, может быть записана на языке кумулянтных и моментных скобок следующим образом:

Эту формулу можно записать еще более кратко, если вслед за Стратоновичем [6] ввести в употребление скобки симметризации означающие, например,

При использовании этой скобки предыдущее выражение примет вид

Скобка симметризации вместе со стоящей перед ней цифрой представляет собой выражение, полностью симметричное относительно всех входящих в нее аргументов. При этом сама цифра указывает, сколько членов содержится в скобке в целом, если ее полностью раскрыть. В том случае, когда члены, входящие в скобку симметризации, сами содержат некоторый сомножитель, его выносят вперед и записывают отдельным множителем перед цифрой, указывающей число слагаемых. Так, например,

В том случае, когда все аргументы, входящие в скобки симметризации, одинаковы, эти скобки можно просто отбросить. Например,

Введем еще одно упрощение. Для универсальности и краткости записи вместо различных случайных переменных (которыми, в частности, могут быть и детерминированные величины) будем использовать различные цифры: 1, 2, 3, ... Так например, под 1, 2, 3 можно понимать

Другими словами, разными цифрами будут обозначены различные аргументы кумулянтных и моментных скобок (разумеется, среди этих аргументов могут быть и совпадающие переменные).

Учтя все это, приведем основные формулы, взаимосвязывающие кумулянтные и моментные скобки вплоть до шестого порядка. К этим формулам мы будем неоднократно обращаться.

2. Выражения кумулянтных скобок через моментные имеют вид:

(2.2.1)

Эти формулы, показывающие, как конкретно кумулянтные скобки выражаются через средние значения произведений своих аргументов могли бы, в принципе, быть приняты и за определения самих кумулянтных скобок.

3. Приведем теперь обратные соотношения, представляющие моментные скобки через кумулянтные:

(2.2.2)

Из соотношений (2.2.1), (2.2.2) элементарно следуют как приведенные ранее формулы (1.2.4), (1.2.5), (1.3.2), (1.3.3), так и все им подобные. Таким образом, (2.2.1) и (2.2.2) представляют собой компактную форму записи взаимосвязи моментов и кумулянтов многомерного распределения.

4. Важные для понимания статистического смысла кумулянтов формулы, выражающие кумулянтные скобки высших порядков через моментную скобку того же порядка и кумулянтные скобки низших порядков, получаются обращением соотношений (2.2.2):

(2.2.3)

Ниже мы укажем, каким образом определяются коэффициенты перед скобками симметризации в (2.2.2) и в (2.2.3).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление