Главная > Методы обработки сигналов > Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.3. Суммы случайных величин

1. Важным случаем линейного преобразования (4.2.1) является суперпозиция случайных величин

Так как коэффициенты легко учесть введением новых случайных величин, положим их для простоты равными единице:

Найдем кумулянты суммы, полагая, что задан набор тензоров-кумулянтов .

2. Начнем решение поставленной задачи с простейшего случая двух слагаемых: На основании (2.3.3) нетрудно получить следующее общее выражение k-гo кумулянта суммы через кумулянты совокупности слагаемых:

(4.3.1)

Приняв во внимание, что

из (4.3.1) сразу же получаем формулу для -го кумулянта разности

3. Обратимся теперь к сумме случайных величин .

Для отыскания связи кумулянтов случайной величины с кумулянтами совокупности воспользуемся свойствами кумулянтных скобок. В результате получим

(4.3.2)

Здесь суммирование идет по всем однако так, чтобы всегда . Заметим, что коэффициент перед совместным кумулянтом -го порядка в (4.3.2) есть полиномиальный коэффициент, стоящий перед произведением в разложении полинома .

Если все статистически независимы, то

(4.3.3)

Таким образом, среднее значение всегда является аддитивной величиной, а высшие кумулянты в общем случае не аддитивны и становятся таковыми только для статистически независимых величин. Вместе с тем для аддитивности второго кумулянта достаточно лишь некоррелированности случайных величин. Если между случайными величинами отсутствуют статистические связи первого и второго порядка, то аддитивным становится и кумулянт третьего порядка. Очевидно, что если у совокупности случайных величин отсутствуют все взаимные статистические связи, начиная с первого и кончая порядком, то аддитивны все кумулянты, вплоть до .

Формула (4.3.2) справедлива, разумеется, и для моментов случайных величин. Однако поскольку совместные моменты статистически независимых величин не обращаются в нуль, формула (4.3.3) для моментов не верна (при ). В отличие от кумулянтов высшие моменты не становятся аддитивными даже для статистически независимых величин. Это обстоятельство еще раз подчеркивает преимущество кумулянтного описания случайных переменных.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление