Главная > Методы обработки сигналов > Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.4. Свойства приращений марковского процесса

1. Так как задание вероятностного распределения марковского процесса полностью определяет его последующее развитие, то легко понять, что приращения марковского процесса должны иметь какие-то особенности.

Пусть имеется марковский случайный процесс с одномоментным распределением и с плотностью вероятности переходов . Образуем приращение где . Вероятностное распределение этого приращения равно

(10.4.1)

Пусть теперь значение является фиксированным (детерминированным). В этом случае . Такое приращение будем называть локальным и обозначать . Из (10.4.1) находим, что распределение локального приращения марковского процесса есть не что иное, как вероятность переходов:

(10.4.2)

Эта формула с несколько другой стороны поясняет смысл вероятности переходов.

2. Полученное выражение (10.4.2) позволяет записать многомерное распределение марковского процесса (10.1.3) в виде

Записывая локальные приращения за неперекрывающиеся интервалы времени

легко обнаружить, вследствие распада многомерной плотности вероятности на произведение распределений, что локальные приращения марковского процесса статистически независимы.

В самом деле, рассмотрим марковский случайный процесс для четырех моментов . Образуем приращения Нетрудно записать двумерную плотность вероятности этих приращений:

Отсюда следует, что, вообще говоря, не распадается на произведение функции от и функции от , т. е. в общем случае марковский процесс не является процессом с независимыми приращениями.

Пусть теперь приращения будут локальными. Для этого зафиксируем и , положив . Тогда

что и означает статистическую независимость локальных приращений. Это утверждение становится особенно понятным, если учесть, что основной чертой марковского процесса является отсутствие последействия. Последнее, в данном случае, означает, что после фиксирования начального значения марковского процесса его последующее развитие совершенно не зависит от предыстории.

Для пространственно однородного марковского процесса статистически независимыми будут и обычные (нелокальные) приращения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление