Главная > Методы обработки сигналов > Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12.2. Преобразование кумулянтных функций дифференцирующей системой

1. Обратимся теперь к уравнению

(12.2.1)

и будем считать известными моментные и кумулянтные функции

Требуется определить моментные и кумулянтные функции выходной переменной .

Так как правая часть (12.2.1) представляет собой суперпозицию производных, то для решения поставленной задачи можно привлечь формулы для моментных и кумулянтных функций производных, полученные в § 9.2. Мы, однако, поступим гораздо проще, воспользовавшись для нахождения моментных функций перестановочностью операций и , а затем заменим моментные скобки на кумулянтные.

Итак,

(12.2.2)

Таким образом,

(12.2.3)

Заменяя моментные скобки на кумулянтные, придем к

(12.2.4)

Найденные формулы (12.2.3) и (12.2.4) полностью решают поставленную задачу о нахождении моментных и кумулянтных функций выхода линейной системы с дифференциальной правой частью.

2. Из (12.2.4) также следует то, что мы получили в предыдущем параграфе: s-я кумулянтная функция на выходе определяется только s-й кумулянтной функцией входа. И это обстоятельство является следствием линейности системы, вне зависимости от конкретного вида линейного оператора .

Таким образом, если является гауссовым, то также будет гауссовым; если описывается эксцессным распределением, то эксцессным же распределением будет описываться и , и т. п. Следовательно, и в этом случае имеет место кумулянтная инвариантность, которая представляет собой общее свойство любой линейной системы.

3. Если входной процесс сильно стационарен, то таким же будет и случайный процесс . Его моментные и кумулянтные функции, согласно (12.2.3), (12.2.4) и с учетом (9.2.6), будут равны

(12.2.5)

в то время как первая кумулянтная функция, равная среднему значению и не зависящая от времени, будет преобразовываться по закону квазистатического воздействия .

Для моментной и кумулянтной функций второго порядка формулы (12.2.5) дают

Пример 12.2.1. Пусть сильно стационарный случайный процесс связан следующим дифференциальным выражением с :

Здесь . Кумулянтные функции первых четырех порядков сильно стационарного процесса равны

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление