Главная > Методы обработки сигналов > Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 13. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СПЕКТРОВ

13.1. Спектры суперпозиции

1. Пусть стационарная совокупность входных случайных процессов преобразуется в выходную совокупность линейным безынерционным преобразованием

с матрицей преобразования . Найдем спектры выходного вектора , полагая, что спектры известны. Заметим, что рассматриваемое преобразование не специфично для случайных процессов, оно в силу своей безынерционности характерно скорее для случайных величин, ибо при таком преобразовании спектры не деформируются.

Задание спектров входной совокупности означает, что нам задана спектральная матрица (см. § 8.2) .

Не представляет никакого труда отыскать спектральную матрицу выходной совокупности, если воспользоваться изложенным в § 9.4 символическим методом. Согласно этому методу спектральная матрица может быть определена как

где есть вектор-столбец с компонентами:

Также определяется и совместная спектральная матрица двух векторных стационарных случайных процессов:

Используя этот метод, получаем

Следовательно,

Такова спектральная матрица выходной совокупности случайных процессов.

В соответствии с разложением корреляционной матрицы на четную и нечетную части аналогичным образом может быть разложена и спектральная матрица:

При этом

(13.1.1)

2. Рассмотрим теперь преобразование спектров высших порядков. Начнем со спектров суперпозиции двух случайных процессов. Если случайные процессы , образуют стационарную совокупность, то кумулянтные функции их суперпозиции равны согласно (12.5.3)

Выполняя преобразование Фурье обеих частей этого равенства, с помощью (8.3.3) и (8.3.12) найдем

(13.1.2)

Каждая скобка симметризации в (13.1.2) содержит слагаемых и является симметрической функцией всех входящих в нее аргументов.

Итак, спектральная плотность любого порядка суперпозиции двух случайных процессов определяется соответствующими совместными спектральными плотностями совокупности этих процессов.

3. Если имеется суперпозиция многих случайных процессов

то, совершая преобразование Фурье (12.5.4), получим следующее выражение для спектральных плотностей высших порядков процесса :

Если случайные процессы все статистически независимы, то их суперпозиции соответствует суперпозиция спектральных плотностей:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление