Главная > Методы обработки сигналов > Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 2. КУМУЛЯНТНЫЕ СКОБКИ И ДИАГРАММЫ

2.1 Кумулянтные скобки

1. Введем специальные обозначения для кумулянтов, позволяющие существенно упростить оперирование с негауссовыми случайными величинами и их совокупностями [28, 29, 32].

Кумулянт первого порядка, совпадающий с моментом первого порядка, будем по-прежнему обозначать как .

Кумулянты второго порядка будем записывать как

Кумулянты третьего порядка обозначим

В общем случае кумулянт порядка s, относящийся к совокупности случайных величин , запишем так :

(2.1.1)

Скобку , в которой имеется хотя бы одна запятая, разделяющая случайные переменные, будем называть кумулянтной скобкой. По определению кумулянтная скобка с различными аргументами

(2.1.2)

является тем совместным кумулянтом совокупности , в который каждая случайная величина входит один раз.

Если одна и та же случайная величина входит в кумулянтную скобку многократно, то эту кумулянтную скобку для краткости будем записывать в виде

Следовательно, кумулянт (2.1.1) примет вид

(2.1.3)

Введение кумулянтных скобок позволяет рассматривать выражения типа и т. п., которые играют большую роль в кумулянтном анализе случайных переменных и которые не могут быть непосредственно выражены через совместные кумулянты совокупности . В то же время эти выражения могут быть записаны через соответствующие средние значения (см. ниже).

2. Нетрудно обнаружить, что введенное представление кумулянтов с помощью кумулянтных скобок аналогично записи моментов с помощью обычных скобок статистического усреднения. В самом деле, если раскрыть смысл совместного момента, то выражение

(2.1.4)

полностью подобно (2.1.1), (2.1.3), а скобка

(2.1.5)

аналогична скобке (2.1.2). Скобки статистического усреднения (2.1.4), (2.1.5) будем в дальнейшем называть моментными скобками.

Таким образом, «графическое» отличие кумулянтных скобок от моментных заключается в замене в последних точек, означающих операцию произведения, на запятые, смысл которых совершенно иной. Кумулянтные скобки, в отличие от моментных, не означают статистического усреднения выражения, стоящего в них. Это связано с тем, что если моменты есть действительно средние значения, то кумулянты представляют собой их нелинейную комбинацию.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление