Главная > Методы обработки сигналов > Марковские процессы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Обобщение на случай сигналов более сложной формы

До сих нор мы предполагали, что полезный сигнал на входе цифровой системы ФАП первого порядка имел прямоугольную форму. При этом условии оказалось возможным свести задачу исследования статистической динамики системы к анализу характеристик однородной марковской цепи, т. е. к модели случайных блужданий с вероятностями перехода, не зависящими от номера состояния. Такой подход позволил продемонстрировать основные идеи и методы анализа характеристик синхронизации без дополнительных сложностей, которые возникают в более общем случае. Между тем, на практике обычно применяются сигналы, форма которых существенно отличается от прямоугольной. Кроме этого, даже если на вход системы ФАП поступает полезный сигнал прямоугольной формы, то при анализе характеристик синхронизации следует учитывать искажения, вносимые узкополосным фильтром. Поэтому рассмотрим далее общий случай, когда в соотношении (1) представляет собой периодический сигнал, который является нечетной функцией относительно момента каждого перехода и имеет два пересечения нуля за период.

В этом случае значения выборок амплитуды полезного сигнала зависят от величины ошибки синхронизации и, следовательно, вероятности перехода зависят от номера состояния ошибки. Повторяя рассуждения пункта 2 этого параграфа, для вероятностей перехода получим

где — значение амплитуды полезного сигнала в состоянии .

При этом для стационарных значений вероятностей состояний аналогично (6) получим разностное уравнение второго порядка

с граничными условиями

Решение уравнения (21) с граничными условиями (22) может быть получено методом математической индукции. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что оно имеет вид

где, по определению, полагается .

Из условия нормировки для , получим соотношение

Таким образом, средний квадрат ошибки синхронизации в этом случае может быть вычислен по формуле (10) с использованием (23) и (24).

Для нормированного среднего времени до срыва синхронизации аналогично (14) получим разностное уравнение

с граничными условиями

Из (26) и (25) следует рекуррентное соотношение

Введем следующее обозначение:

Тогда из (28) с учетом (29) и граничного условия (27) имеем

Если в (30) проводить суммирование не от , а от произвольного , то получим

Таким образом, подставляя в последнее соотношение выражение (29), для нормированного среднего времени до срыва синхроннзации на состояния в общем случае имеем

Здесь, по опрелеленню, при . Формула (31) обобщает (17) на случай сигналов более сложной формы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление