Главная > Методы обработки сигналов > Марковские процессы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Плотность вероятности времени первого достижения границ

Если существует плотность вероятности времени первого достижения границ , то, по определению,

(26.69)

Продифференцировав обе части равенства (9) по , получим, что удовлетворяет дифференциальному уравнению

с начальными и граничными условиями

Задача получения решения уравнения (70) при условиях (71) и (72) является математически весьма сложной даже для простейших видов коэффициентов сноса и диффузии и .

Как уже отмечалось, все приведенные выше выражения справедливы для траекторий марковского процесса , который можно интерпретировать как движение частицы между двумя поглощающими экранами в точках и . При этом достижение границы означает, что достигнута либо граница , либо граница . Можно также найти вероятностные характеристики достижения из точки какой-либо определенной границы (например, ) в момент времени так, что другая поглощающая граница до этого момента ни разу не достигалась.

Обозначим через плотность вероятности времени первого достижения поглощающей границы раньше, чем границы . Аналогично обозначим плотность вероятности времени первого достижения поглощающей границы раньше, чем границы . Для них остается в силе уравнение (70) и начальное условие (71). Так как предполагается, что к моменту времени другая граница не достигалась, то граничные условия (72) нужно заменить на

Аналогичным образом можно определить и случае, если граница с является отражающей, для плотности вероятности по-прежнему остается справедливым уравнение (70) с начальным условием (71). Граничные условия в этом случае согласно (48) примут вид

(26.75)

Наконец, можно интересоваться распределением времени первого достижения границы, когда движение происходит на полуинтервале, ограниченном поглощающим экраном. Этот случай получается из рассмотренных выше предельным переходом или . При этом допускается возможность того, что траектория марковского процесса может никогда не достигнуть поглощающей границы. Следовательно, для плотности вероятности условие нормировки может иногда не выполняться:

В этом и проявляется различие между плотностью вероятности и обычной плотностью вероятности перехода .

При решении линейных уравнений в частных производных типа (70) удобно воспользоваться преобразованием Лапласа по переменной t. При этом исходное уравнение в частных производных, содержащее пространственную координату и время t, преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение относительно переменной .

Обозначим преобразование Лапласа от плотности вероятности времени первого достижения границ

(26.77)

Применим преобразование Лапласа к обоим частям уравнения (70) с учетом начального условия (71). В результате получим обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка

(26.78)

На основании (77) из (72) в случае, когда обе границы с и d являются поглощающими, находим граничные условия

(26.79)

Аналогично, из (73) и (74) для плотностей вероятности времени первого достижения из точки либо границы , либо границы так, чтобы другая граница до этого момента времени не была достигнута, имеем

(26.80)

(26.81)

Напомним, что плотности вероятностей и не обязательно должны быть нормированы к единице.

Если одна из границ, например , является отражающей, то уравнение (78) по-прежнему определяет преобразование Лапласа от плотности вероятности времени первого достижения границы из точки . Граничные условия согласно (77) и (75) имеют вид

(26.82)

Если считать, что частица, достигшая границы с, остается на ней в течение случайного времени , имеющего плотности вероятностей и лишь затем перескакивает в некоторую случайную точку , имеющую плотность вероятности (см. § 11), то решение уравнения (78) также позволяет найти плотность вероятности времени первого достижения границы из начальной точки . Поскольку время первого достижения границы из точки с равно сумме случайной величины и времени первого достижения границы из случайно распределенной точки , то в данном случае вместо второго равенства (82) граничным условием будет выражение

(26.83)

Условие, аналогичное (83), можно написать и для более сложного закона распределения случайного времени пребывания на границе с.

Получить решение уравнения для преобразования Лапласа от плотности вероятности времени первого достижения границ обычно удается в тех же случаях, что и решение уравнения (21). Однако даже для простых видов коэффициентов сноса и диффузии всегда удается найти обратное преобразование Лапласа.

Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных примеров, отметим одно полезное свойство изображения , которое позволяет найти моменты распределения времени первого достижения границ

Кроме этого, полную вероятность достижения границы с при условии что граница не будет достигнута, можно определить на основании решения уравнения (78) с граничными условиями (81) по формуле

(26.85)

Аналогичное соотношение имеет место для вероятности .

Пример 5. Рассмотрим внутри интервала , на границах которого помещены поглощающие экраны, траектории процесса , описываемого стохастическим дифференциальным уравнением

(26.86)

где — нормальный белый шум.

В этом случае уравнение (78) запишется в виде

Общее решение уравнения (87) определяется выражением

(26.88)

где корни характеристического уравнения

Отметим, что для арифметических значений корней

(26.90)

Для определения произвольных постоянных А и В из граничных условий (79) получим систему алгебраических уравнений

Проделав соответствующие выкладки, имеем

В общем случае найти обратное преобразование от (91) не удается. Однако из (91) при помощи (84) можно получить среднее время достижения границ

В частном случае обратное преобразование Лапласа от (91) может быть найдено. Так как при этом из (91) следует

(26.93)

то обратное преобразование Лапласа дает [111]

(26.94)

Проинтегрировав (94) по , нетрудно получить выражение для , совпадающее с (29).

Среднее время достижения поглощающих границ винеровскнм процессом при согласно (84) и (93) определяется выражением

(26.95)

Для преобразования Лапласа от плотности вероятности времени первого достижения границы раньше, чем границы , также справедливо (88). Произвольные же постоянные и согласно (80) определяются из системы алгебраических уравнений

Проделав соответствующие выкладки, получим

(26-96)

Согласно (85) полная вероятность достижения границы h равна

(26.97)

При формула (97) совпадает с (31).

Пример 6. Рассмотрим на интервале процесс (86) и пусть в точке помещен отражающий экран, а в точке — поглощающий. В этом случае общее решение уравнения (87) по-прежнему имеет вид (88), а постоянные А и В согласно (82) определяются системой уравнений

Проделав соответствующие выкладки, имеем

(26.98)

Как и в предыдущем примере, найти обратное преобразование Лапласа от (98) в общем случае не удается. При из (98) следует

Обратное преобразование Лапласа от (99) имеет вид

Вероятности и можно получить из (100)

интегрированием по переменной .

При помощи (84) можно определить среднее время до поглощения. Так, при из (99) имеем

(26.101)

Выражение для при не приводится из-за его громоздкости.

Пример 7. Рассмотрим винеровский процесс, когда движение происходит на полуинтервале . Предполагается, что в точке помещен поглощающий экран. В этом случае преобразование Лапласа от плотности вероятности времени первого достижения поглощающей границы получается из (78) предельным переходом при . Можно показать, что

(26.102)

При может быть найдено обратное преобразование Лапласа от (102). Оно дает

Отметим, что в данном случае при выражение (102) определяет полную вероятность поглощения в точке из первоначального положения :

Из (104) следует, что при положительном сносе или его отсутствии поглощение за сколь угодно большое время обязательно произойдет. Если же снос направлен в сторону от экрана , то существует отличная от нуля вероятность того, что поглощение не произойдет. При этом нарушается условие нормировки плотности вероятности времени первого достижения границы .

Для среднего времени достижения границы из (84) и (102), используя (90), получим

(26.105)

(26.106)

Таким образом, в (106) второй сомножитель учитывает тот факт, что вероятность поглощения при отлична от единицы. Отметим, что с вероятностью среднее время в этом случае обращается в бесконечность, т. е. является условным средним.

Пример 8. В качестве последнего примера рассмотрим винеровский процесс (86) на интервале . Пусть в начале координатной прямой помещен экран, при попадании на который частица остается на нем в течение случайного времени , имеющего распределение , а затем перескакивает в некоторую случайную точку , имеющую плотность вероятности . Граница по-прежнему считается поглощающей.

В этом случае для определения постоянных и общего решения (88) нужно использовать граничные условия (83)

Полагая для простоты , т. е. считая плотность вероятности равномерной, отсюда получим систему уравнений

Таким образом, для преобразования Лапласа от плотности вероятности времени первого достижения границы имеем

(26.107)

где введены обозначения

При из (107) следует

(26.109)

Найти обратное преобразование Лапласа даже от (109) не удается. Можно показать, что , т.е. поглощение за сколько угодно большое время обязательно произойдет.

Для среднего времени до поглощения при после довольно громоздких вычислений, с учетом (84) и (109), получим простую формулу

(26.110)

Обозначим среднее значение случайного времени пребывания на границе в начале координат . Тогда из формулы (110) следует, что при увеличении среднего времени пребывания на границе среднее время до поглощения также увеличивается, причем влияние второго члена в квадратных скобках, учитывающего интенсивность процесса , уменьшается. При когда граница в начале координат становится отражающей, из (110) имеем

В то же время из формулы (101) примера 6 заменой переменных можно получить выражение для среднего времени до поглощения винеровского процесса при на границе , когда в начале системы координат помещен отражающий экран

Отличие выражений (111) и (112) объясняется различным характером отражения от границ, помещенных в начале координат. Для от ражающей границы, рассмотренной в примере 6, частица, попавшая на нее в момент времени , в следующий момент окажется на малом расстоянии от границы.

Для границы, рассмотренной в данном примере, частица, оказавшаяся на ней в некоторый момент времени , при , в следующий момент окажется в некоторой случайной точке интервала распределенной по равномерному закону.

Интересно отметить, что среднее время (112) совпадает с (95), т. е. среднее время до поглощения при движении на интервале , в начале которого помещен отражающий экран, равно среднему времени до поглощения при движении частицы между двумя поглощающими экранами в точках (см. § 9).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление