Наложение процессов восстановления

Как и в случае пуассоновских потоков, предположим, что имеется независимых, статистически идентичных (имеющих одинаковую плотность вероятности межточечных интервалов) процессов восстановления , которые налагаются (суммируются) так же, как это было изображено на рис. 30.8. Объединенный процесс , вообще говоря, не является процессом восстановления. Однако некоторые общие свойства результирующего процесса можно получить из соответствующих свойств суммируемых процессов. Так, если есть число восстановлений в полуинтервале , то

(31.55)

где — число восстановлений -го процесса в том же интервале. Так как отдельные процессы считаются независимыми, то среднее значение, дисперсия и кумулянты для результирующего процесса находятся суммированием соответствующих величин для частных процессов, а характеристическая (или производящая) функция равна степени характеристической (производящей) функции частного процесса.

При вычислении характеристик случайной длительности до -гo восстановления в данном случае следует воспользоваться формулами (6) или (8) в обратном порядке:

(31.56)

Это соотношение позволяет получить общий асимптотический результат для больших . Ранее было доказано, что при больших случайные величины в формуле (55) являются асимптотически нормальными со средним значением и дисперсией (см. (14)). Следовательно, случайная величина является также асимптотически нормальной со средним значением и дисперсией . Если теперь провести рассуждения после формулы (10) в обратном порядке, то придем к заключению, что время асимптотически нормально распределено со средним значением и дисперсией .

При дополнительном предположении, что суммируемые процессы восстановления являются стационарными, вычислим плотность вероятности интервалов между соседними восстановлениями результирующего процесса . Чтобы вычислить , рассмотрим предварительно распределение обратного времени возвращения результирующего процесса. Очевидно, что

где через обозначено обратное время возвращения процесса .

Так как составляющие процессы независимы, то

Здесь последнее равенство написано согласно формуле (49), которая для стационарных процессов является точной. Дифференцируя по , получаем плотность вероятности величины :

Покажем, что формула (49) применима к любому ординарному стационарному процессу. Действительно, для стационарного процесса обратное время возвращения не зависит от произвольно взятого момента . Пусть есть плотность вероятности интервалов между последовательными событиями процесса. Если временная точка выброшена случайным образом, то вероятность того, что в какой-либо конкретной реализации процесса большой длительности она упадет между двумя событиями, разделенными интервалом между , пропорциональна полной длине этих интервалов, т. е.

Так как точка обязательно упадет на какой-либо из интервалов, то

т. е. интересующая нас вероятность равна

где m — среднее значение интервалов между соседними событиями.

Пусть известно, что случайная точка упала на интервал длины . Естественно считать, что с одинаковой вероятностью она может оказаться в любом месте этого интервала, т. е. условная плотность вероятности случайной величины является равномерной в интервале . Поэтому безусловная плотность вероятности для равна

(31.58)

где — функция распределения интервалов между событиями.

Применим формулу (58) к сумме идентичных стационарных процессов восстановления. Опираясь на формулу (30), нетрудно заключить, что для результирующего процесса

(31.59)

Подставив это значение m в формулу (58) и приравняв затем правые части формул (58) и (57), получим

Отсюда путем дифференцирования по находим плотность вероятности интервалов между событиями в объединенном процессе

Применительно к пуассоновскому процессу с экспоненциальным распределением межточечных времен вида функция распределения и формула (61) дает известный результат . Если интервалы между событиями распределены равномерно на отрезке формула (61) приводит к выражению

При это распределение достаточно быстро сходится к экспоненциальному распределению со средним значением .

При большом числе суммируемых стационарных процессов восстановления результирующий процесс асимптотически стремится к пуассоповскому потоку.