Наложение процессов восстановления
Как и в случае пуассоновских потоков, предположим, что имеется
независимых, статистически идентичных (имеющих одинаковую плотность вероятности межточечных интервалов) процессов восстановления
, которые налагаются (суммируются) так же, как это было изображено на рис. 30.8. Объединенный процесс
, вообще говоря, не является процессом восстановления. Однако некоторые общие свойства результирующего процесса
можно получить из соответствующих свойств суммируемых процессов. Так, если
есть число восстановлений в полуинтервале
, то
(31.55)
где
— число восстановлений
-го процесса в том же интервале. Так как отдельные процессы считаются независимыми, то среднее значение, дисперсия и кумулянты для результирующего процесса находятся суммированием соответствующих величин для частных процессов, а характеристическая (или производящая) функция равна
степени характеристической (производящей) функции частного процесса.
При вычислении характеристик случайной длительности
до
-гo восстановления в данном случае следует воспользоваться формулами (6) или (8) в обратном порядке:
(31.56)
Это соотношение позволяет получить общий асимптотический результат для больших
. Ранее было доказано, что при больших
случайные величины
в формуле (55) являются асимптотически нормальными со средним значением
и дисперсией
(см. (14)). Следовательно, случайная величина
является также асимптотически нормальной со средним значением
и дисперсией
. Если теперь провести рассуждения после формулы (10) в обратном порядке, то придем к заключению, что время
асимптотически нормально распределено со средним значением
и дисперсией
.
При дополнительном предположении, что суммируемые процессы восстановления
являются стационарными, вычислим плотность вероятности
интервалов между соседними восстановлениями результирующего процесса
. Чтобы вычислить
, рассмотрим предварительно распределение обратного времени возвращения
результирующего процесса. Очевидно, что
где через
обозначено обратное время возвращения процесса
.
Так как составляющие процессы независимы, то
Здесь последнее равенство написано согласно формуле (49), которая для стационарных процессов является точной. Дифференцируя по
, получаем плотность вероятности величины
:
Покажем, что формула (49) применима к любому ординарному стационарному процессу. Действительно, для стационарного процесса обратное время возвращения
не зависит от произвольно взятого момента
. Пусть
есть плотность вероятности интервалов между последовательными событиями процесса. Если временная точка
выброшена случайным образом, то вероятность того, что в какой-либо конкретной реализации процесса большой длительности она упадет между двумя событиями, разделенными интервалом между
, пропорциональна полной длине этих интервалов, т. е.
Так как точка обязательно упадет на какой-либо из интервалов, то
т. е. интересующая нас вероятность равна
где m — среднее значение интервалов между соседними событиями.
Пусть известно, что случайная точка упала на интервал длины
. Естественно считать, что с одинаковой вероятностью она может оказаться в любом месте этого интервала, т. е. условная плотность вероятности случайной величины
является равномерной в интервале
. Поэтому безусловная плотность вероятности для
равна
(31.58)
где
— функция распределения интервалов между событиями.
Применим формулу (58) к сумме
идентичных стационарных процессов восстановления. Опираясь на формулу (30), нетрудно заключить, что для результирующего процесса
(31.59)
Подставив это значение m в формулу (58) и приравняв затем правые части формул (58) и (57), получим
Отсюда путем дифференцирования по находим плотность вероятности интервалов между событиями в объединенном процессе
Применительно к пуассоновскому процессу с экспоненциальным распределением межточечных времен вида
функция распределения
и формула (61) дает известный результат
. Если интервалы между событиями распределены равномерно на отрезке
формула (61) приводит к выражению
При
это распределение достаточно быстро сходится к экспоненциальному распределению со средним значением
.
При большом числе
суммируемых стационарных процессов восстановления результирующий процесс асимптотически стремится к пуассоповскому потоку.