Главная > Теория автоматического управления > Автоматическое управление
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Нестационарные случайные процессы. Интегральное уравнение для оптимальной функции веса.

Пусть на вход одномерной нестационарной линейной системы подается нестационарный случайный процесс . Через обозначим функцию веса этой системы. Сигнал на выходе системы будет

(26.41)

При

(26.42)

будем иметь

(26.43)

Через обозначим сигнал, который желательно получить на выходе системы (желаемый сигнал). Если, например, где - полезный сигнал, a - помехи, то желаемый сигнал может иметь вид или представлять собой некоторое заданное преобразование полезного сигнала .

Через обозначим ошибку в воспроизведении желаемого сигнала:

(26.44)

или, в соответствии с (43),

(26.45)

Среднее значение будет

(26.46)

или

(26.47)

Полагая, что и - случайные процессы с нулевыми средними значениями, и обозначая через

(26.48)

корреляционные функции, которые определены на множестве соответствующих случайных функций, можно представить выражение (47) в следующем виде:

(26.49)

Величина , представляющая собой дисперсию ошибки, зависит от вида функции веса системы, то есть представляет собой функционал, который определен на классе функций веса линейных нестационарных систем. Если является оптимальной функцией веса, то есть доставляет минимум функционалу , то это означает, что при любой другой функции веса (где — произвольный параметр, не зависящий от t и ) дисперсия ошибки будет . В соответствии с (49)

Последнее слагаемое в правой части выражения (50) можна переписать так:

Так как

то предпоследнее слагаемое в правой части выражения (51) можно представить так:

(26.52)

Обозначим теперь

или

(26.53)

Через обозначим следующую функцию:

(26.54)

Выражение (54) можно переписать так:

откуда следует, что

Таким образом, выражение (50) принимает следующий вид:

(26.55)

Необходимое условие минимума функционала (46) имеет вид

(26.56)

В соответствии с (55) условие (56) принимает вид

(26.57)

Условие (57) является не только необходимым, но и достаточным условием минимума функционала (46). Действительно, при выражение (55) принимает вид

так как при любых .

Так как условие (57) должно выполняться при любых функциях , то в соответствии с (53) условие минимума принимает вид

(26.58)

Таким образом, оптимальная функция веса должна удовлетворять интегральному уравнению (58). Это уравнение называется уравнением Винера.

Найдем теперь дисперсию ошибки оптимальной системы. Согласно (49)

(26.59)

Так как оптимальная функция веса удовлетворяет соотношению (58), то для оптимальной системы выражение (59) принимает вид

(26.60)

Дадим еще вывод двух соотношений, которые для рассматриваемой задачи представляют собой содержание важной для теории линейной фильтрации [25] стр. 298, леммы об ортогональной проекции в гильбертовом пространстве.

Уравнение (58) можно переписать так:

или

В соответствии с (43) это выражение принимает вид

или

Так как согласно (44) , то получим

(26.61)

Обратимся теперь к выражению (43). Умножая на левую и правую части выражения (43), получим

Заменяя левую и правую части их математическими ожиданиями, найдем

Согласно (61) правая часть этого выражения равна нулю, и, следовательно,

(26.62)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление