Главная > Теория автоматического управления > Автоматическое управление
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Частотные методы исследования устойчивости линейных управляемых систем

1. Преобразование характеристического определителя замкнутой управляемой системы.

Как показано в § 2 (2.10), характеристический определитель замкнутой управляемой системы имеет следующий вид:

Здесь — характеристические определители звеньев управляемой системы, причем согласно (2.21) произведение этих определителей представляет собой определитель разомкнутой управляемой системы

Таким образом, определитель замкнутой управляемой системы можно записать так:

(3.1)

Согласно (2.7) и (2.8)

(3.2)

то

(3.3)

Матрица является квадратной матрицей типа и в соответствии с выражением (3) все элементы матрицы

(3.4)

представляют собой дробно-рациональные функции от оператора дифференцирования D, у каждой из которых знаменатель равен .

Матрица имеет вид

(3.5)

Определитель этой матрицы можно привести к следующему виду:

(3.6)

где — дробно-рациональная функция от

(3.7)

а - некоторый полином от D. Из выражений (6) и (1) следует, что

(3.8)

или согласно (7)

(3.9)

Так как - целая функция (поскольку она представляет собой определитель замкнутой управляемой системы), то очевидно, что

(3.10)

где - некоторый полином от .

Таким образом,

(3.11)

Выражение (8) теперь принимает вид

(3.12)

Для того чтобы управляемая система была асимптотически устойчивой, необходимо, чтобы все нули полинома были расположены в левой полуплоскости комплексного переменного .

Необходимые и достаточные условия, при которых эти требования выполняются, даются критерием Гурвитца [17, 21]. Большие возможности, однако, дает критерий Найквиста, который позволяет судить об устойчивости замкнутой управляемой системы по частотным характеристикам разомкнутой системы.

Частотной характеристикой разомкнутой управляемой системы называется функция

где - матричная передаточная функция разомкнутой системы, которая определена в § 2 формулой (2.28).

Так как, согласно (2.28)

где и - матричные передаточные функции звеньев системы, то

и для построения частотной характеристики разомкнутой управляемой системы требуется лишь знание частотных характеристик ее звеньев. Последние же, если неизвестно аналитическое выражение функций , могут быть определены экспериментально, как это показано ниже. Таким образом, основная ценность критерия Найквиста состоит в том, что он позволяет судить об устойчивости замкнутой управляемой системы не только по аналитическим, но и по экспериментальным характеристикам разомкнутой системы. Этот критерий, излагаемый ниже, был предложен Найквистом [13] для усилителей с обратной связью и применен А. В. Михайловым [65] и др. к регулируемым системам.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление