Главная > Теория автоматического управления > Автоматическое управление
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ СИСТЕМЫ

§ 1. Одномерные управляемые системы

1. Системы с одной степенью свободы.

Уравнение движения системы с одной степенью свободы, у которой кинетическая энергия , потенциальная энергия , а добавочная неконсервативная сила , будет иметь следующий вид:

(1.1.)

Обозначая через D оператор дифференцирования по времени

(1.2)

можно переписать уравнение (1) так:

(1.3)

или

(1.4)

Функция

(1.5)

является дробно-рациональной функцией от оператора дифференцирования D и называется передаточной функцией системы. Подставляя в (4) выражение (5),

получим

(1.6)

Рис. 1.1.

Соотношение (6) эквивалентно исходному дифференциальному уравнению (1). Этому соотношению можно поставить в соответствие структурную схему, показанную на рис. 1.1. Функцию можно назвать входным сигналом, а функцию сигналом на выходе системы.

Найдем решение дифференциального уравнения (1). В случае, когда

(1.7)

корни характеристического уравнения

(1.8)

будут

(1.9)

где

(1.10)

При условии (7) решение уравнения (1) имеет следующий вид:

(1.11)

В случае нулевых начальных условий, то есть при

(1.12)

закон движения рассматриваемой системы будет

(1.13)

Обозначим через следующую функцию:

(1.14)

Эта функция называется функцией веса системы (1). Из выражения (11) видно, что есть закон движения системы в случае, когда

а начальные условия таковы:

(1.15)

Из выражения (11) можно заключить, что будет законом движения системы также и в случае, когда

(1.16.)

где — единичная импульсная функция (дельта-функция Дирака). Поэтому функция называется также импульсной переходной функцией системы.

Из соотношений (16) следует, что до момента времени то есть до приложения единичного импульса, система находилась в покое. В силу этого мы должны принять, что при , то есть функция веса равна нулю при отрицательном значении ее аргумента.

Таким образом, выражение (14), которым определена функция веса , необходимо дополнить соотношением

(1.17)

В соответствии с (14) можно выражение (13) записать так:

(1.18)

и

Выражение (18) можно преобразовать, полагая

(1.19)

Тогда, учитывая, что t является здесь параметром, будем иметь . Так как при и при , то получим

Таким образом, закон движения системы, у которой

будет следующим:

(1.21)

Рассмотрим теперь предельный случай. Пусть

то есть входной сигнал подан бесконечно давно. Если , то есть собственные колебания системы (1) асимптотически затухают, то выражение (11) принимает вид

что для краткости будем записывать так:

(1.22)

Выражение (22) определяет собой установившийся процесс в системе.

Пример. В качестве примера найдем установившийся процесс в системе, описываемой дифференциальным уравнением (1),

для случая, когда

Согласно (22) и (14)

или

Так как согласно (10) , то полученное выражение принимает вид

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление