Главная > Теория автоматического управления > Автоматическое управление
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Построение приближенных решений.

В общем случае исходная система нелинейных дифференциальных уравнений (1) не интегрируется. В этом смысле приведение задачи к системе нелинейных интегральных уравнений (27) не изменяет существа дела, так как получение точного решения уравнений (27) в общем случае также не представляется возможным. Однако для построения приближенных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений (1) удобнее исходить из эквивалентной ей системы интегральных уравнений (27). Для сокращения записи введем следующие обозначения:

Так как фундаментальная матрица для линейного дифференциального уравнения (9) предполагается известной, то будет известной и функция определяемая формулой (23). Таким образом, можно считать функцию известной функцией.

Функции и являются векторами. Элементы этих векторов будут

Векторное интегральное уравнение (26) можно теперь переписать так:

Система скалярных интегральных уравнений, соответствующая векторному уравнению (32), будет

Для решения системы нелинейных интегральных уравнений (33) при достаточно широких предположениях [81] относительно вида нелинейных функций можно применить метод последовательных приближений.

В качестве нулевого приближения решения системы уравнений (33) принимаем

Последовательные приближения будут

Недостатком метода последовательных приближений является быстрое усложнение квадратур в выражениях (35) при повышении порядка приближений.

Другой метод приближенного решения системы интегральных уравнений (33) состоит в следующем. Промежуток времени разбиваем на интервалы

В качестве приближения принимаем, что на каждом из этих интервалов функции сохраняют неизменными те значения, которые они имели в начале интервала. Тогда из уравнений (33) получим

Описанным методом может быть построено приближенное решение системы нелинейных интегральных уравнений (33), то есть может быть найден приближенный закон движения системы (1) на интересующем нас интервале времени .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление