Главная > Теория автоматического управления > Автоматическое управление
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Интерполяционный полином Лагранжа — Сильвестра.

Интерполяционный полином Лагранжа — Сильвестра удовлетворяющий условиям (44)

где согласно (29) - нули минимального полинома матрицы A:

имеет следующий вид:

(10.47)

где

Как видно из (46) и (29), степень полинома не выше .

В случае, когда все нули минимального полинома являются простыми

интерполяционный полином в соответствии с (26) принимает вид

(10.48)

Формула (48) представляет собой известную интерполяционную формулу Лагранжа, которая, как легко видеть, удовлетворяет условиям .

Нетрудно также непосредственно проверить, что интерполяционный полином Лагранжа — Сильвестра, определяемый для общего случая выражением (46), удовлетворяет интерполяционным условиям (44). Для этого удобнее выражение (46) в соответствии с (47) переписать так:

или

Так, например, из (50) найдем, что

так как остальные слагаемые, которые появятся при дифференцировании выражения (49), обращаются в нуль при А, . Отсюда

что и соответствует условиям (44). Аналогично можно проверить выполнение остальных условий (44).

Единственность интерполяционного полинома Лагранжа — Сильвестра можно доказать следующим образом.

Пусть скалярная аналитическая функция комплексного переменного , регулярная в некоторой области, заключающей все точки , являющиеся нулями полинома , определяемого выражением (29):

Функция не имеет в рассматриваемой области других особых точек, кроме полюсов, и может быть представлена в виде

Здесь - функция, регулярная в рассматриваемой области, а - главная часть разложения функции в ряд Лорана в окрестности точки .

Функцию можно представить в следующем виде:

Если подставить это выражение в (51) и полученное соотношение умножить на , то получим

где определяется выражением (47). Так как функция регулярна в окрестности точки и обращается в этой точке в нуль вместе с производными до -го порядка, то из (53) найдем, что

Таким образом, выражение (53) принимает вид

Из соотношения (55) следует, что

(10.56)

где - полином, который определен выражением (46). Так как функции и регулярны в рассматриваемой области, причем в точке обращается в нуль вместе с производными до порядка, то и есть интерполяционный полином, удовлетворяющий интерполяционным условиям (44).

Заметим, что если А — матрица, элементы которой являются действительными числами, то и ее минимальный полином , как видно из (25), будет иметь действительные коэффициенты. Поэтому нули будут либо действительными, либо комплексными попарно сопряженными числами.

Функция называется действительной на спектре матрицы если для действительного характеристического числа все ее значения на спектре . действительны, а для двух комплексных сопряженных характеристических чисел и соответствующие значения на спектре — комплексные сопряженные величины: .

В этом случае интерполяционный полином будет иметь действительные коэффициенты, и матрица , а следовательно и будет матрицей с действительными элементами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление