Главная > Теория автоматического управления > Автоматическое управление
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

11. Некоторые свойства функций от матриц.

Теорема 1. Пусть — полином относительно , функции от , которые определены на спектре матрицы А, а

(10.106)

Тогда, если на спектре матрицы А функция обращается в нуль

(10.107)

то будет иметь место следующее соотношение:

(10.108)

Доказательство. Обозначим через интерполяционные полиномы Лагранжа — Сильвестра для пусть

(10.109)

Так как на спектре матрицы А значения и совпадают, то из соотношения (107) следует, что

Но тогда из формулы (71) следует, что

(10.111)

или

что и требовалось доказать.

В качестве следствия из теоремы 1 рассмотрим следующие примеры.

. Пусть

Тогда

Так как на спектре любой матрицы для данной функции имеет место соотношение

то согласно (112)

или

(10.113)

. Пусть

Тогда

На спектре любой матрицы А для данной функции будем иметь

Поэтому согласно (112)

или

(10.114)

Из соотношения (114) следует, что обратная матрица имеет вид

(10.115)

. Пусть

Тогда

На спектре любой матрицы А для данной функции имеет место соотношение

Согласно (112) отсюда следует, что

(10.116)

или

. Пусть

Тогда

На спектре любой матрицы А для данной функции имеет место соотношение

Согласно (112) отсюда следует, что

или

Таким образом, теорема 1 указывает условия (107), при которых тождества, связывающие функции от скалярного переменного , могут быть распространены на матричные значения аргумента.

Теорему 1 можно усилить и доказать следующую теорему ([21], стр. 121).

Теорема 2. Пусть

где функции определены на спектре матрицы A, а функция есть результат последовательного применения к величинам операций сложения, умножения, умножения на число и замены величины произвольной функцией от нее. Тогда, если на спектре матрицы А функция обращается в нуль:

то иметь место следующее соотношение:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление