Главная > Теория автоматического управления > Автоматическое управление
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

13. Сравнение с решениями, получаемыми при помощи преобразования Лапласа.

Покажем теперь тождественность решения (143) и решения, которое можно получить развитыми в § 4 методами, основанными на применении преобразования Лапласа.

Обозначая

(10.144)

получим, что векторному дифференциальному уравнению (135)

будет соответствовать следующее уравнение в изображениях:

(10.145)

где - значение при . Отсюда

(10.146)

Согласно (89) будем иметь

(10.147)

Оригинал, изображением которого является функция обозначим через :

(10.148)

Учитывая, что

(10.149)

найдем

На основании теоремы об умножении изображений

(10.151)

Таким образом, изображению (146) будет соответствовать следующий оригинал:

(10.152)

Из сравнения выражений (150) и (133) видно, что

(10.153)

и, таким образом, выражение (152) принимает вид

(10.154)

Согласно (154)

(10.155)

Выражение (154) можно преобразовать к следующему виду:

(10.156)

откуда, учитывая (155), получим

(10.157)

что совпадает с выражением (143).

Заменяя в соответствии с соотношением (153) функцию через , перепишем выражение (157) так:

Заметим еще, что в соответствии со (153), (114) и (115) матрица которая определена выражением (150), и обратная матрица удовлетворяют следующим соотношениям:

(10.159)

(10.160)

(10.161)

Учитывая, что

и что степени матриц коммутативны при умножении, получим еще, что

(10.162)

Из соотношений (153) и (128) следует также, что

(10.163)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление