Главная > Теория автоматического управления > Автоматическое управление
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Управляемость линейных нестационарных систем.

Рассмотрим линейную нестационарную систему, описываемую векторным дифференциальным уравнением

(11.75)

где

(11.76)

Элементы матриц и являются непрерывными, действительными функциями времени.

Система (75) называется вполне управляемой в момент времени если из любого состояния, которое она занимает в момент времени , ее можно перевести в нулевое состояние за конечный промежуток времени, выбирая надлежащим образом закон изменения управляющих сил .

Так как свойства нестационарной системы изменяются с течением времени, то возможны системы, которые управляемы (в смысле приведенного выше определения) в момент времени Т и неуправляемы в любой последующий момент времени. Из самого определения управляемости следует, однако, что если система управляема в момент T, то она управляема в любой момент (поскольку она будет управляемой, оказавшись в любом состоянии в момент времени Т).

Теорема. Пусть , где фундаментальная матрица решений системы, описываемой однородным векторным дифференциальным уравнением

а через обозначена матрица

(11.78)

Нестационарная линейная система (75) управляема в момент времени если и только если для некоторого конечного матрица , определяемая выражением (78), является положительно-определенной матрицей .

Доказательство теоремы.

. По предположению матрица является симметрической, положительно-определенной матрицей. Следовательно, она является неособой матрицей, то есть .

Таким образом, обратная матрица существует, и можно выбрать вектор управляющих сил в следующем виде:

(11.79)

Так как согласно (7.26)

(11.80)

то в момент времени состояние системы будет

Подставляя в (81) выражение (79) для , получим

Как показано выше (7.24) и (7.25),

Поэтому, учитывая (78), будем иметь и

(11.83)

В соответствии с (82) и (83) состояние системы в момент времени будет следующим:

(11.84)

Таким образом, управление (79) действительно приводит систему (75) к моменту времени в нулевое состояние.

Заметим, что заданное выражением (79) управление которое, как здесь доказано, приводит систему (75) к моменту времени в нулевое состояние, не является единственным. Действительно, управление

где - любая -мерная вектор-функция, удовлетворяющая условию

так же, как это следует из (81), приводит систему (75) к моменту времени в нулевое состояние.

Аналогично управление

приводит систему к моменту времени в точку .

Покажем теперь, что если система (75) управляема, то матрица будет положительно-определейной матрицей.

Рассмотрим сначала квадратичную форму , где -мерный вектор. Согласно (78) будем иметь

(11.85)

Так как для всякой прямоугольной матрицы а типа

то

(11.86)

Таким образом, в соответствии с (86) и (85) для всех имеет место соотношение

(11.87)

Чтобы завершить доказательство, остается еще показать, что матрица W является неособой, и тогда соотношение (87) примет требуемый вид .

Предположим обратное: пусть является особой матрицей. Тогда существует такой вектор , что

(11.88)

Обозначим теперь через следующий вектор:

(11.89)

Как следует из (89), является непрерывной функцией от .

В соответствии с (89), (86), (78) и (88) будем иметь

(11.90)

откуда следует, что

(11.91)

Учтем теперь, что по сделанному здесь предположению рассматриваемая система управляема. Следовательно, существует некоторое управление , которое приводит систему из состояния (в момент времени ) в нулевое состояние (в момент времени ). Аналогично (81) будем поэтому иметь следующее соотношение:

(11.92)

Отсюда следует, что

или

(11.93)

Из (91) и (89) следует, что

(11.94)

Так как для всякой прямоугольной матрицы

то из соотношения (94) следует, что

(11.95)

В соответствии с (93) соотношение (95) принимает вид

(11.96)

что противоречит исходному предположению о том, что .

Полученное противоречие возникло вследствие предположения (88) о том, что матрица особая. Таким образом, установлено, что матрица является неособой матрицей, т. е. ни для какого вектора соотношение (88) не может иметь места и, следовательно,

(11.97)

Из соотношений (87) и (97) вытекает, что

(11.98)

то есть если система (75) управляема, то матрица является положительно-определенной матрицей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление