Главная > Теория автоматического управления > Автоматическое управление
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Принцип максимума Л. С. Понтрягина в задаче о быстродействии.

Из теоремы 1 можно получить аналогичное необходимое условие оптимальности по быстродействию. Для этого в соответствии с (3) надо положить

(17.18)

Согласно (10) и (18) функция Я принимает теперь вид

(17.19)

Обозначим через -мерный вектор

(17.20)

а через обозначим функцию

(17.21)

Уравнения (1) и уравнения (8) можно представить так:

(17.22)

(17.23)

При фиксированных значениях и функция Н становится функцией параметра u; верхнюю грань значений этой функции обозначим через :

(17.24)

Так как согласно (21) и (19)

(17.25)

то получим, что

(17.26)

Поэтому условия (16) и (17) теперь принимают вид

(17.27)

Таким образом, получаем следующую теорему [72].

Теорема 2 (принцип максимума в задаче о быстродействии). Пусть - допустимое управление, переводящее изображающую точку из положения в положение — соответствующая траектория, так что . Для оптимальности (по быстродействию) управления и траектории необходимо существование такой ненулевой непрерывной вектор-функции соответствующей функциям и , что:

. Для любого момента являющегося точкой непрерывности управления , функция переменного достигает в точке максимума

(17.28)

. В конечный момент выполнено соотношение

(17.29)

Оказывается, далее, что если величины удовлетворяют системе (22), (23) и условию , то функция переменного t постоянна, так что проверку соотношения (29) можно проводить не обязательно в момент а в любой момент .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление