Главная > Теория автоматического управления > Автоматическое управление
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Линейные неавтономные системы. Приведение задачи о быстродействии к краевой задаче.

Предварительно введем некоторые обозначения. Рассмотрим две системы, описываемые векторными дифференциальными уравнениями

(18.62)

(18.63)

где матрица является транспонированной матрицей для матрицы . Через обозначим фундаментальную матрицу решений (62), а через обозначим матрицу

(18.64)

Решение задачи Коши для векторного дифференциального уравнения (62) будет иметь следующий вид:

(18.65)

Решение задачи Коши для векторного уравнения (63) запишем так:

(18.66)

Здесь - квадратная матрица, удовлетворяющая условию

(18.67)

где Е — единичная матрица.

Как показано выше (53), матрицы и удовлетворяют условию

(18.68)

Обратимся теперь к управляемой системе, описываемой линейным векторным уравнением

(18.69)

где — следующие матрицы:

(18.70)

Векторное уравнение (69) эквивалентно следующей системе скалярных уравнений:

(18.71)

На управления наложены ограничения

(18.72)

Рассматриваемую систему требуется перевести из точки в которой система находится в момент времени , в точку за наименьшее возможное время.

Через обозначим -мерный вектор

(18.73)

и согласно (15) введем функцию

(18.74)

Согласно (13) функции удовлетворяют диффереациальным уравнениям

(18.75)

которые эквивалентны векторному дифференциальному уравнению

(18.76)

В соответствии с теоремой о принципе максимума оптимальное управление будет иметь следующий вид:

(18.77)

Соотношения (77) можно переписать так:

(18.78)

где через обозначен -мерный вектор, являющийся произведением следующих матриц:

(18.79)

Обозначим теперь через следующую матрицу:

(18.80)

Так как в соответствии с (66) и (63) решение векторного уравнения (76) имеет вид

(18.81)

то выражение (79) можно, учитывая (68), переписать так:

(18.82)

Согласно (82) элементы вектора будут

(18.83)

Таким образом, в соответствии с (78) и (83) оптимальное управление имеет следующий вид:

(18.84)

Запишем теперь решение задачи Коши для векторного уравнения (69)

(18.85)

Через обозначим момент времени, когда система (69) будет приведена в начало координат

(18.86)

В соответствии с (85), (80) и (86) получим

(18.87)

Поскольку матрица является неособой матрицей, то из (87) следует соотношение

(18.88)

Векторному соотношению (88) эквивалентны следующие скалярные соотношения:

(18.89)

Подставляя вместо оптимальное управление (84), приведем соотношения (89) к виду

(18.90)

В соотношениях (90) неизвестными являются величины , а также значение момента времени, в который система будет приведена в начало координат.

Уравнения (90) являются исходными в некоторых численных методах определения оптимального управления.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление