Главная > Теория автоматического управления > Автоматическое управление
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Применение принципа максимума при отсутствии ограничений на управление.

При отсутствии ограничений на управление во многих случаях оказывается возможным получить в явном виде решение задачи о выборе управления, доставляющего минимум некоторому функционалу.

Рассмотрим систему, описываемую скалярным дифференциальным уравнением (см. § 16, п. 2),

(23.36)

где

(23.37)

начальное состояние которой

Требуется привести систему в момент времени в точку , выбирая управление , которое доставило бы минимум функционалу

(23.38)

где

(23.39)

В соответствии с (17.10) образуем функцию

(23.40)

и составим уравнения

(23.41)

Согласно (40) уравнения (41) принимают вид

(23.42)

(23.43)

Найдем теперь управление u (на которое заранее никаких ограничений не наложено), доставляющее максимум функции . Так как

(23.44)

то при условии

(23.45)

функция будет иметь максимум по u при

(23.46)

Из первого уравнения (43) следует, что

(23.47)

Подставляя во второе уравнение (42) оптимальное значение управления и, которое определено выражением (46), получим

(23.48)

Дифференцируя по t левую и правую части уравнения (48) и учитывая при этом, что , получим

(23.49)

В соответствии со вторым уравнением (43) уравнение (49) принимает вид

(23.50)

где

(23.51)

Мы пришли, таким образом, к краевой задаче: требуется найти решение дифференциального уравнения (50), удовлетворяющее условиям

(23.52)

Интересующее нас решение будет следующим:

(23.53)

Решение (53) существует при условии

(23.54)

которое мы будем предполагать выполненным.

Из второго уравнения (42) следует, что

(23.55)

откуда в соответствии с (53) получим

(23.55)

Из сравнения выражения (46), полученного из принципа максимума Л. С. Понтрягина, со вторым уравнением (42) следует, что в рассматриваемой задаче

откуда

(23.57)

Заметим, что у механической системы, функция Лагранжа которой имеет вид

(23.58)

канонический импульс будет

(23.59)

Отсюда следует, что для управляемой системы, описываемой уравнением (36),

(23.60)

(23.61)

где — канонический импульс механической системы (58).

Соотношения (60) и (61) имеют место потому, что здесь, как и в § 16, п. 2, функционал (38) выбран так, что для механической системы (58) он принимает вид

(23.62)

что представляет собой действие по Гамильтону, которое в силу принципа Гамильтона принимает стационарное значение на действительных движениях механической системы.

При подстановке в (40) вместо и выражений (60) и (61) функция принимает вид

то есть функция в рассматриваемом здесь примере представляет собой произведение функции Гамильтона механической системы (58) на постоянный множитель .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление