Вынужденные колебания
Пусть на материальную точку М одновременно действуют восстанавливающая сила
и сила
, явно зависящая от времени (рис. 14). Силы, явно зависящие от времени, в теории колебаний называются вынуждающими силами.
Особый интерес представляют периодические вынуждающие силы, значения которых через определенный промежуток времени
, называемый периодом, повторяются:
(рис. 15,а). Простейшим случаем периодической силы является гармоническая вынуждающая сила
(рис. 15,б). В этом случае коэффициент H называется амплитудой вынуждающей силы, а величина
— частотой (круговой, циклической) изменения вынуждающей силы.
Рис. 15.
Рассмотрим движение материальной точки под действием линейной восстанавливающей силы и гармонической вынуждающей силы. Дифференциальное уравнение движения имеет вид (координата
отсчитывается от положения равновесия)
и после деления на массу и введения обозначений
может быть записано в следующей форме:
Чтобы найти закон движения точки, надо решить это уравнение при определенных, заданных начальных условиях:
. Полученное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Как известно из математики, общее решение
такого уравнения является суммой двух функций:
где
- общее решение соответствующего однородного уравнения,
- какое-либо частное решение неоднородного уравнения.
Вид общего решения однородного уравнения нам уже известен:
Для определения частного решения неоднородного уравнения в математике существуют несколько способов. Воспользуемся методом специальной правой части, согласно которому частное решение следует искать в данном случае в виде
в котором D, Е
— некоторые постоянные величины, пока неизвестные. Чтобы найти их значения, применяют метод неопределенных коэффициентов. Для этого решение
, взятое в той или иной вышеуказанной форме, подставляется в решаемое дифференциальное уравнение, после чего производится уравнивание коэффициентов при одинаковых тригонометрических функциях в правой и левой частях полученного равенства, обязанного, по свойству решения дифференциального уравнения, быть тождеством по
, т.е. выполняться в любой момент времени.
Примем
во второй (амплитудной) форме и найдем первую и вторую производные:
Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и приводя подобные члены, получаем:
Раскрывая
и приравнивая коэффициенты при
в обеих частях равенства, получаем два уравнения для определения двух неизвестных —
:
При
уравнения не имеют решения, что свидетельствует о несуществовании в этом случае частного решения в разыскиваемом виде. При
существуют два решения этих уравнений:
Оба решения определяют один и тот же вид частного решения
Теперь можем записать и общее решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний:
Чтобы найти закон движения точки, надо в это выражение и его производную
подставить начальные условия, разрешить полученные уравнения относительно неизвестных a,
и подставить их в выражение для
. Мы не будем делать этого. Отметим только ряд свойств, которые присущи движению при любых начальных условиях.
1. Движение точки представляет собой наложение двух движений — гармонических колебаний частоты к (свободные, или собственные колебания) и гармонических колебаний частоты вынуждающей силы и (вынужденные колебания).
2. Вынужденные колебания не зависят от начальных условий движения.
3. Для вынужденных колебаний имеет место явление резонанса.